Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah — Nota JomSkor

Ungkapan Kuadratik

Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah ialah ungkapan yang kuasa tertinggi pemboleh ubahnya ialah dua. Bentuk am: ax² + bx + c, dengan a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0. Contoh: x² + 2x – 1, –y² + 3y, m² – m + 4.

ax² + bx + c, a ≠ 0

Fungsi Kuadratik

Bagi domain semua nombor nyata, fungsi kuadratik f(x)=ax²+bx+c dengan a≠0 mempunyai graf parabola. Nilai output pada titik pusingan mempunyai satu praimaj; nilai output dalam julat selain nilai pusingan mempunyai dua praimaj. Nilai di luar julat tidak mempunyai praimaj nyata. Jika domain dihadkan pada satu sisi paksi simetri, hubungan boleh menjadi satu kepada satu, maka pengelasan banyak kepada satu memerlukan domain yang sesuai.

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0; domain nyata penuh apabila dinyatakan

Bentuk Graf (Nilai a)

Nilai a menentukan bentuk dan lebar graf parabola. Jika a > 0, graf berbentuk U (terbuka ke atas) dan mempunyai titik minimum. Jika a < 0, graf berbentuk ∩ (terbuka ke bawah) dan mempunyai titik maksimum. Semakin kecil |a|, semakin lebar lengkok graf.

a > 0 → titik minimum; a < 0 → titik maksimum

Paksi Simetri

Paksi simetri ialah garis mencancang melalui titik pusingan parabola, dengan persamaan x=−b/(2a). Kedudukannya bergantung pada tanda nisbah −b/a, bukan tanda b sahaja: nilai positif di kanan paksi-y dan nilai negatif di kiri. Jika b=0, paksi simetri ialah paksi-y. Syarat a≠0 diperlukan kerana fungsi mesti benar-benar kuadratik.

x = −b/(2a), a ≠ 0

Pintasan-y (Nilai c)

Nilai c menentukan di mana graf memotong paksi-y. Titik pintasan-y bagi f(x) = ax² + bx + c ialah (0, c). Untuk mencari c, gantikan x = 0 ke dalam fungsi.

pintasan-y = c

Punca Persamaan Kuadratik

Punca nyata ialah koordinat-x bagi titik graf y=ax²+bx+c yang terletak pada paksi-x. Persamaan kuadratik boleh mempunyai dua punca nyata berbeza, satu punca nyata berulang, atau tiada punca nyata. Graf boleh memotong paksi-x dua kali, menyentuhnya pada titik pusingan, atau tidak bertemu paksi-x. Sebagai contoh, x²+1=0 tiada penyelesaian nyata kerana x² tidak negatif.

Punca nyata: nilai x yang memenuhi ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Kaedah Pemfaktoran

Tulis persamaan dalam bentuk ax² + bx + c = 0, kemudian faktorkan. Jika (px + q)(rx + s) = 0, maka x = –q/p atau x = –s/r. Setiap faktor disamakan dengan sifar secara berasingan.

(x – p)(x – q) = 0 → x = p atau x = q

Membentuk Persamaan Kuadratik daripada Situasi

Fungsi kuadratik f(x) = ax² + bx + c boleh dibentuk daripada situasi kehidupan nyata seperti luas, panjang dan masalah penaakulan. Persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 diperoleh apabila f(x) disamakan dengan nilai tertentu.

Contoh soalan

Encik Ganesan membuat dua kad berbentuk segi empat sama. Kad pertama bersisi x cm, kad kedua berukuran x cm × (2x + 1) cm. Jumlah luas kedua-dua kad ialah 114 cm². Hitung nilai x.

• Luas kad pertama = x × x = x²
• Luas kad kedua = x(2x + 1) = 2x² + x
• Jumlah luas: x² + 2x² + x = 3x² + x
• Bina persamaan: 3x² + x = 114
• Susun dalam bentuk am: 3x² + x – 114 = 0
• Faktorkan: (3x + 19)(x – 6) = 0
• Maka x = –19/3 (ditolak, panjang tidak boleh negatif) atau x = 6

x = 6 cm