Penyelesaian Segi Tiga — Nota JomSkor

Petua Sinus

Bagi sebarang segi tiga ABC, nisbah panjang sisi dengan sinus sudut yang bertentangan adalah sama. Diterbitkan daripada segi tiga bersudut tirus dan bersudut cakah dengan membina garis serenjang h dari satu bucu ke sisi bertentangan, iaitu $h = a\sin B = b\sin A$.

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ atau $\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c}$

Syarat menggunakan Petua Sinus

Petua Sinus digunakan untuk menyelesaikan segi tiga apabila diberi: (a) dua sudut dan satu panjang sisi (SSU), atau (b) dua panjang sisi dan satu sudut bukan kandung (SSU tak kandung).

Kes Berambiguiti

Apabila diberi panjang dua sisi (a dan c) serta satu sudut bukan kandung A yang tirus, dua segi tiga berbeza mungkin wujud. Kes berambiguiti wujud jika sisi bertentangan dengan sudut bukan kandung, a, lebih pendek daripada sisi c tetapi lebih panjang daripada tinggi segi tiga, h (iaitu $h < a < c$, dengan $h = c\sin A$). Jika $a < h$, tiada segi tiga wujud; jika $a = h$ atau $a \geq c$, hanya satu segi tiga wujud.

Petua Kosinus

Diterbitkan menggunakan Teorem Pythagoras pada dua segi tiga tegak yang terbentuk apabila garis tinggi h dilukis dari satu bucu ke sisi bertentangan. Digunakan untuk mencari panjang sisi apabila diberi panjang dua sisi dan sudut kandung, atau untuk mencari sudut apabila diberi panjang ketiga-tiga sisi.

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Petua Kosinus untuk mencari sudut

Bentuk semula Petua Kosinus digunakan apabila panjang ketiga-tiga sisi segi tiga diketahui dan sudut yang tidak diketahui perlu dicari.

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \quad \cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \quad \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Luas Segi Tiga (SSU kandung)

Digunakan apabila diberi panjang dua sisi dan sudut kandung antara kedua-dua sisi tersebut. Diterbitkan daripada rumus asas Luas = ½ × tapak × tinggi, dengan tinggi digantikan menggunakan nisbah trigonometri (contohnya $h = a\sin B$).

$$\text{Luas} = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{1}{2}bc\sin A$$

Rumus Heron

Digunakan untuk mencari luas segi tiga apabila hanya panjang ketiga-tiga sisi (a, b, c) diberi tanpa sebarang sudut. Langkah 1: hitung semiperimeter s. Langkah 2: gantikan nilai s, a, b, c ke dalam rumus Heron. Dinamakan sempena Hero of Alexandria.

$$\text{Luas} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad \text{dengan } s = \dfrac{a+b+c}{2}$$

Memilih petua yang sesuai

Untuk mencari panjang sisi atau sudut: guna Petua Sinus jika diberi SSU (dua sudut + satu sisi, atau dua sisi + satu sudut bukan kandung); guna Petua Kosinus jika diberi SUS (dua sisi + sudut kandung) atau SSS (tiga sisi). Untuk mencari luas: guna Luas = ½ab sin C jika diberi dua sisi + sudut kandung; guna Rumus Heron jika diberi tiga sisi sahaja.

Bearing

Bearing digunakan untuk menentukan arah sesuatu tempat dari satu titik rujukan, diukur secara sudut julat 000° hingga 360° mengikut arah jam bermula dari arah utara. Contohnya bearing A dari O ditulis sebagai 030° atau U30°T. Petua Sinus dan Petua Kosinus sering digunakan bersama bearing untuk menyelesaikan masalah jarak dan arah antara lokasi.

Sudut dongakan dan sudut tunduk

Sudut dongakan ialah sudut yang dibentuk antara garis pandangan pemerhati dengan garis mengufuk apabila pemerhati memandang ke arah objek yang lebih tinggi. Sudut tunduk pula ialah sudut yang dibentuk apabila pemerhati memandang ke arah objek yang lebih rendah. Konsep ini digunakan dalam aplikasi Petua Sinus dan Petua Kosinus untuk menyelesaikan masalah ketinggian bangunan, menara, atau gunung.

Aplikasi gabungan (Petua Sinus, Petua Kosinus dan Luas)

Masalah kehidupan sebenar (contohnya bumbung, tanah pertanian, kolam, kapal) sering memerlukan penggunaan Petua Sinus, Petua Kosinus dan rumus luas secara berturutan dalam satu penyelesaian — contohnya mencari satu sisi dengan Petua Sinus, kemudian sisi kedua dengan Petua Kosinus, dan akhirnya luas menggunakan rumus Luas = ½ab sin C atau Rumus Heron sebagai semakan.

Contoh soalan

Encik Tan bercadang untuk mengecat bahagian bumbung garaj keretanya. Panjang satu sisi bumbung ialah 5.2 m dengan dua sudut tirus 30° dan 50° seperti dalam rajah pandangan hadapan bumbung garaj berbentuk segi tiga ABC, dengan AB = 5.2 m, sudut C = 30° dan sudut B = 50°. (a) Hitung panjang kayu pada bahagian bumbung yang lebih panjang (AC) dan jarak di antara kedua-dua dinding garaj (BC). (b) Hitung luas bahagian hadapan bumbung garaj, dalam m², yang akan dicat oleh Encik Tan.

• Kenal pasti maklumat: AB = 5.2 m, sudut C = 30°, sudut B = 50°, sudut A = 180° - 30° - 50° = 100°.
• Gunakan Petua Sinus untuk mencari AC: $\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C}$, iaitu $\dfrac{AC}{\sin 50°} = \dfrac{5.2}{\sin 30°}$.
• $AC = \dfrac{5.2}{\sin 30°} \times \sin 50° = 7.967$ m.
• Gunakan Petua Kosinus untuk mencari BC: $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2(AC)(AB)\cos A = 7.967^2 + 5.2^2 - 2(7.967)(5.2)\cos 100°$.
• $BC = 10.24$ m (jarak di antara kedua-dua dinding garaj).
• Hitung luas segi tiga ABC menggunakan Luas = ½(AB)(AC) sin A = ½(5.2)(7.967) sin 100°.
• Luas = 20.40 m². Semak menggunakan Rumus Heron dengan $s = \dfrac{5.2 + 7.967 + 10.24}{2} = 11.7035$ m, Luas = $\sqrt{11.7035(11.7035-5.2)(11.7035-7.967)(11.7035-10.24)} \approx 20.40$ m² — nilai konsisten.

AC = 7.967 m, BC = 10.24 m, dan luas bahagian hadapan bumbung garaj yang akan dicat ialah 20.40 m²