Vektor — Nota JomSkor

Kuantiti Vektor lawan Kuantiti Skalar

Kuantiti vektor ialah kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah, contohnya sesaran, halaju dan daya. Kuantiti skalar hanya mempunyai magnitud sahaja tanpa arah, contohnya jarak, laju, jisim dan suhu. Sebagai contoh, 'bergerak 90 km j$^{-1}$ ke arah selatan' ialah kuantiti vektor manakala 'suhu 38$°$C' ialah kuantiti skalar.

Perwakilan dan Tatatanda Vektor

Vektor diwakili oleh tembereng garis berarah dengan anak panah menunjukkan arah dan panjang garis menunjukkan magnitud. Titik $A$ ialah titik awal dan titik $B$ ialah titik terminal bagi vektor $\vec{AB}$. Magnitud vektor ditulis sebagai $|\vec{AB}|$ atau $|\underline{a}|$.

$\vec{AB}$ atau $\mathbf{AB}$ atau $\underline{a}$ atau $\mathbf{a}$

Magnitud Vektor daripada Grid/Segi Tiga Bersudut Tegak

Apabila vektor diberi dalam bentuk komponen mendatar dan menegak pada grid, magnitud vektor dihitung menggunakan Teorem Pythagoras berdasarkan komponen-komponen tersebut.

$|\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Vektor Sifar, Vektor Sama dan Vektor Negatif

Vektor sifar, $\underline{0}$, mempunyai magnitud sifar dan arahnya tidak dapat ditentukan (contohnya sesaran bagi pergerakan bulatan yang kembali ke titik asal). Dua vektor adalah sama, $\vec{AB} = \vec{CD}$, jika magnitud dan arah kedua-duanya sama. Suatu vektor adalah negatif bagi vektor lain jika magnitudnya sama tetapi arahnya bertentangan.

$\vec{BA} = -\vec{AB}$

Pendaraban Skalar dengan Vektor

Pendaraban skalar $k$ dengan vektor $\underline{a}$ menghasilkan vektor $k\underline{a}$ dengan magnitud $k$ kali magnitud $\underline{a}$. Arah $k\underline{a}$ adalah sama dengan arah $\underline{a}$ jika $k > 0$, dan bertentangan arah jika $k < 0$.

$|k\underline{a}| = |k||\underline{a}|$

Syarat Vektor Selari

Dua vektor $\underline{a}$ dan $\underline{b}$ adalah selari jika dan hanya jika $\underline{a} = k\underline{b}$, dengan $k$ ialah pemalar. Jika $\underline{a}$ dan $\underline{b}$ ialah dua vektor bukan sifar dan TIDAK selari, dan $h\underline{a} = k\underline{b}$, maka mesti $h = k = 0$. Prinsip ini digunakan untuk membandingkan pekali $\underline{a}$ dan $\underline{b}$ bagi mencari pemalar yang tidak diketahui, dan juga untuk membuktikan tiga titik segaris (collinear).

$\underline{a} = k\underline{b}$

Penambahan Vektor: Hukum Segi Tiga, Segi Empat Selari dan Poligon

Hukum segi tiga: jika vektor kedua bermula di titik terminal vektor pertama, vektor paduan ialah vektor dari titik awal vektor pertama ke titik terminal vektor kedua. Hukum segi empat selari: dua vektor $\underline{a}$ dan $\underline{b}$ yang bermula dari titik yang sama diwakili oleh dua sisi bersebelahan segi empat selari, dan vektor paduannya ialah pepenjuru segi empat selari tersebut, $\vec{AC}$. Hukum poligon melanjutkan hukum segi tiga kepada berbilang vektor berturutan: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AE}$.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Penolakan Vektor

Penolakan dua vektor dilakukan dengan menambah vektor pertama dengan negatif vektor kedua. Kaedah hukum segi tiga, segi empat selari atau poligon boleh digunakan sama seperti penambahan vektor, dengan menggantikan vektor yang ditolak dengan vektor negatifnya.

$\underline{a} - \underline{b} = \underline{a} + (-\underline{b})$

Vektor Unit $\underline{i}$ dan $\underline{j}$

Vektor $\underline{i}$ ialah vektor bermagnitud 1 unit dan selari dengan paksi-$x$ positif, manakala vektor $\underline{j}$ ialah vektor bermagnitud 1 unit dan selari dengan paksi-$y$ positif. Kedua-dua vektor ini digunakan sebagai asas untuk mewakili sebarang vektor pada satah Cartes.

$\underline{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \underline{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Vektor dalam Satah Cartes (Vektor Kedudukan)

Vektor kedudukan bagi titik $B(x, y)$ relatif kepada asalan $O$ ialah $\vec{OB}$, yang boleh ditulis dalam bentuk gabungan vektor unit $x\underline{i} + y\underline{j}$ atau dalam bentuk vektor lajur $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Magnitud $\vec{OB} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$\vec{OB} = x\underline{i} + y\underline{j} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Vektor Unit dalam Arah Suatu Vektor

Vektor unit ialah vektor dalam arah suatu vektor tertentu yang mempunyai magnitud tepat 1 unit. Ia dicari dengan membahagikan vektor tersebut dengan magnitudnya sendiri. Jika $\underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j}$, maka vektor unit dalam arah $\underline{r}$ ialah $\hat{r}$.

$\hat{r} = \dfrac{\underline{r}}{|\underline{r}|} = \dfrac{x\underline{i} + y\underline{j}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

Operasi Aritmetik Vektor dalam Bentuk Lajur

Penambahan dan penolakan vektor dalam bentuk lajur dilakukan dengan menjumlah atau menolak komponen sepadan secara berasingan. Pendaraban vektor dengan skalar dilakukan dengan mendarab setiap komponen dengan skalar tersebut. Gabungan operasi (contoh: $3\underline{p} + \underline{q} - 2\underline{r}$) mesti mendarab skalar terlebih dahulu sebelum menambah/menolak.

$\underline{a} \pm \underline{b} = \begin{pmatrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \end{pmatrix}$

Aplikasi Vektor dalam Masalah Sebenar

Vektor digunakan untuk menyelesaikan masalah kehidupan seharian seperti pergerakan bot yang dibawa arus, kapal terbang yang dipengaruhi angin, atau zarah bergerak dengan halaju tertentu. Vektor kedudukan selepas masa $t$ diberi oleh $\underline{s} = \underline{a} + t\underline{v}$, dengan $\underline{a}$ ialah kedudukan awal dan $\underline{v}$ ialah vektor halaju.

Contoh soalan

Vektor kedudukan bagi tiga buah kereta mainan, $A$, $B$ dan $C$ ialah $\vec{OA} = \underline{a} + \underline{b}$, $\vec{OB} = 3\underline{a} - 2\underline{b}$ dan $\vec{OC} = h\underline{a} + 7\underline{b}$, dengan $h$ ialah pemalar. Cari nilai $h$ dengan keadaan kereta mainan $A$, $B$ dan $C$ terletak pada satu garis lurus.

• Kereta mainan A, B, C segaris bermakna vektor AC selari dengan vektor AB, iaitu AC = k(AB), dengan k ialah pemalar.
• Cari AB menggunakan hukum segi tiga: AB = AO + OB = -a - b + 3a - 2b = 2a - 3b.
• Cari AC menggunakan hukum segi tiga: AC = AO + OC = -a - b + ha + 7b = (h-1)a + 6b.
• Samakan AC = k(AB): (h-1)a + 6b = k(2a - 3b) = 2ka - 3kb.
• Oleh sebab a dan b tidak selari dan bukan vektor sifar, banding pekali: h - 1 = 2k dan 6 = -3k.
• Selesaikan 6 = -3k terlebih dahulu: k = -2.
• Gantikan k = -2 ke dalam h - 1 = 2k: h - 1 = 2(-2) = -4, maka h = -3.

$h = -3$ (dengan $k = -2$)