Geometri Koordinat — Nota JomSkor

Rumus Pembahagi Tembereng Garis

Jika titik $P(x,y)$ membahagikan tembereng garis yang menyambungkan $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ dengan nisbah $AP:PB = m:n$, maka koordinat $P$ diberi oleh rumus ini. Rumus ini diterbitkan menggunakan konsep segitiga serupa (garis selari memotong dua garis pada nisbah yang sama).

$P(x, y) = \left(\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \dfrac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)$

Titik Tengah Tembereng Garis

Kes khas rumus pembahagi tembereng garis apabila $m = n$ (nisbah 1:1), iaitu $P$ menjadi titik tengah $M$ bagi tembereng garis $AB$.

$M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

Rumus Jarak Antara Dua Titik

Digunakan untuk mengira jarak antara dua titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ pada satah Cartes, diterbitkan daripada Teorem Pythagoras. Rumus ini penting dalam menyelesaikan masalah nisbah dan persamaan lokus.

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Kecerunan Garis Lurus

Kecerunan, $m$, bagi garis lurus yang melalui $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ ialah nisbah perubahan pugak kepada perubahan mengufuk. Kecerunan juga sama dengan $\tan \theta$, dengan $\theta$ ialah sudut yang dibentuk oleh garis itu dengan arah positif paksi-$x$, $0^\circ \le \theta < 180^\circ$.

$m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \tan \theta$

Syarat Garis Selari

Dua garis lurus $L_1$ dan $L_2$ adalah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika kecerunan kedua-dua garis adalah sama, iaitu $m_1 = m_2$. Ini berlaku kerana sudut sepadan yang dibentuk dengan paksi-$x$ adalah sama, $\theta_1 = \theta_2$.

$m_1 = m_2$

Syarat Garis Serenjang

Dua garis lurus $L_1$ dan $L_2$ adalah berserenjang antara satu sama lain jika dan hanya jika hasil darab kecerunan kedua-dua garis ialah $-1$. Ini diterbitkan daripada hubungan $\theta_2 = 90^\circ + \theta_1$ dan sifat $\tan(90^\circ + \theta_1) = -\dfrac{1}{\tan \theta_1}$.

$m_1 m_2 = -1$

Bentuk Persamaan Garis Lurus

Bentuk kecerunan menunjukkan kecerunan $m$ dan pintasan-$y$, $c$, secara terus. Bentuk pintasan menunjukkan pintasan-$x$, $a$, dan pintasan-$y$, $b$, dengan kecerunannya ialah $-\dfrac{b}{a}$. Kedua-dua bentuk ini digunakan untuk mengenal pasti kecerunan bagi menguji syarat selari atau serenjang.

$y = mx + c$ (bentuk kecerunan); $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ (bentuk pintasan)

Luas Segi Tiga (Rumus Shoelace)

Luas segi tiga dengan bucu-bucu $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ dan $C(x_3,y_3)$ boleh dicari dengan menyusun koordinat mengikut tertib (ikut arah lawan jam atau ikut jam secara konsisten) menggunakan susunan matriks $\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{vmatrix}$, kemudian ambil nilai mutlak supaya luas sentiasa positif.

$\text{Luas } \triangle ABC = \dfrac{1}{2}\left|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_1y_3\right|$

Luas Poligon secara Am (Algoritma Shoelace)

Rumus luas segi tiga boleh diperluaskan kepada poligon $n$-sisi (sisi empat, pentagon, heksagon dan seterusnya) dengan bucu $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), \ldots, N(x_n,y_n)$ disusun mengikut tertib (ikut lilitan poligon), kemudian gunakan formula shoelace dan ambil nilai mutlak.

$\text{Luas} = \dfrac{1}{2}\left|x_1y_2 + x_2y_3 + \cdots + x_ny_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - \cdots - x_1y_n\right|$

Persamaan Lokus: Jarak Malar dari Titik Tetap

Jika titik bergerak $P(x,y)$ sentiasa berjarak malar $r$ unit dari satu titik tetap $A(x_1,y_1)$, maka lokus $P$ ialah sebuah bulatan berpusat $A$ dan berjejari $r$. Persamaan ini diperoleh dengan menyamakan $PA = r$ dan mengkuasaduakan kedua-dua belah menggunakan rumus jarak.

$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r^2$

Persamaan Lokus: Nisbah Jarak Malar dari Dua Titik Tetap

Jika titik bergerak $P(x,y)$ mempunyai nisbah jarak $PA:PB = m:n$ dari dua titik tetap $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ yang malar, lokus $P$ juga merupakan sebuah bulatan. Persamaan diperoleh daripada $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{m}{n}$.

$\dfrac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} = \dfrac{m^2}{n^2}$

Persamaan Lokus: Jarak Sama dari Dua Titik Tetap

Kes khas apabila nisbah ialah $1:1$, iaitu $PA = PB$. Lokus $P$ ialah pembahagi dua sama serenjang (perpendicular bisector) bagi tembereng garis $AB$, iaitu satu garis lurus, bukan bulatan.

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2 = (x-x_2)^2+(y-y_2)^2$

Menyelesaikan Masalah Gabungan Garis Selari/Serenjang

Persamaan garis lurus dengan kecerunan $m$ yang melalui titik $(x_1,y_1)$ digunakan bersama syarat $m_1 = m_2$ (selari) atau $m_1m_2 = -1$ (serenjang) untuk menyelesaikan masalah kehidupan sebenar seperti kedudukan jalan raya, tangen kepada bulatan, dan lokasi persimpangan.

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Nisbah Luas Poligon

Aplikasi gabungan rumus titik tengah dan rumus luas poligon: apabila $M$ dan $N$ ialah titik tengah sisi-sisi segi tiga, luas segi tiga dan sisi empat yang terbentuk boleh dibandingkan sebagai nisbah untuk menyelesaikan masalah geometri lanjutan.

$\text{Nisbah luas} = \dfrac{\text{Luas } \triangle CMN}{\text{Luas sisi empat } ABNM}$

Contoh soalan

Bucu-bucu bagi sebuah segi tiga ABC ialah A(8, 5), B(-2, -3) dan C(k, -1). Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k jika luas segi tiga ABC ialah 18 unit persegi.

• Oleh sebab urutan bucu segi tiga ABC tidak diketahui, luasnya mungkin bernilai positif atau negatif, jadi gunakan tanda ± pada rumus luas.
• Gunakan rumus shoelace: Luas ΔABC = (1/2)|x1 x2 x3 x1; y1 y2 y3 y1| dengan (x1,y1)=(8,5), (x2,y2)=(-2,-3), (x3,y3)=(k,-1).
• Luas ΔABC = (1/2)|(8)(-3)+(-2)(-1)+(k)(5) - [(5)(-2)+(-3)(k)+(-1)(8)]|
• = (1/2)|(-24 + 2 + 5k) - (-10 - 3k - 8)|
• = (1/2)|(5k - 22) - (-3k - 18)| = (1/2)|8k - 4|
• Samakan dengan luas yang diberi: 18 = (1/2)|8k - 4|, maka ±18 = (1/2)(8k - 4).
• Kes 1: (1/2)(8k - 4) = -18 → 8k - 4 = -36 → 8k = -32 → k = -4.
• Kes 2: (1/2)(8k - 4) = 18 → 8k - 4 = 36 → 8k = 40 → k = 5.

k = -4 atau k = 5