Hukum Linear — Nota JomSkor

Hubungan Linear dan Tak Linear

Graf yang membentuk satu garis lurus apabila $Y$ diplot melawan $X$ menunjukkan suatu hubungan linear, manakala graf yang membentuk lengkung (bukan garis lurus) menunjukkan hubungan tak linear. Graf linear boleh diperoleh daripada graf tak linear dengan menukar pemboleh ubah pada paksi-$X$ atau paksi-$Y$ atau kedua-duanya. Bagi graf linear $Y = mX + c$, $X$ mewakili pemboleh ubah pada paksi mengufuk, $Y$ mewakili pemboleh ubah pada paksi mencancang, $m$ mewakili kecerunan dan $c$ mewakili pintasan-$Y$.

Y = mX + c

Garis Lurus Penyuaian Terbaik

Garis lurus penyuaian terbaik ialah garis lurus yang menyambungkan kebanyakan titik yang diplot pada graf. Titik-titik yang tidak terletak pada garis lurus penyuaian terbaik itu mesti bertaburan secara seimbang di kedua-dua belah garis lurus tersebut. Garis ini boleh dilukis secara manual di atas kertas graf atau disahkan menggunakan perisian digital seperti Desmos.

Membentuk Persamaan Garis Lurus Penyuaian Terbaik

Persamaan garis lurus boleh ditulis dalam bentuk $Y = mX + c$ apabila kecerunan, $m$, dan pintasan-$Y$, $c$, diketahui atau boleh ditentukan menggunakan sebarang dua titik yang terletak pada garis lurus penyuaian terbaik tersebut. Kecerunan dikira menggunakan dua titik pada garis, dan pintasan-$Y$ dibaca terus daripada graf atau dikira dengan menggantikan satu titik ke dalam persamaan $Y = mX + c$.

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad Y = mX + c

Kaedah Penukaran 1: Darab Kedua-dua Belah dengan X

Bagi persamaan tak linear $y = ax + \dfrac{b}{x}$ dengan $a$ dan $b$ ialah pemalar, darabkan kedua-dua belah persamaan dengan $x$ untuk mendapatkan $xy = ax^2 + b$. Bandingkan dengan $Y = mX + c$: melalui perbandingan, $Y = xy$, $X = x^2$, $m = a$ dan $c = b$.

y = ax + \dfrac{b}{x} \;\Rightarrow\; xy = ax^2 + b

Kaedah Penukaran 2: Bahagi Kedua-dua Belah dengan X

Sebagai alternatif, bahagikan kedua-dua belah persamaan $y = ax + \dfrac{b}{x}$ dengan $x$. Bandingkan dengan $Y = mX + c$: melalui perbandingan, $Y = \dfrac{y}{x}$, $X = \dfrac{1}{x^2}$, $m = b$ dan $c = a$. Pemilihan kaedah bergantung kepada pemboleh ubah yang sesuai bagi $X$ dan $Y$; pemboleh ubah mesti mengandungi hanya pemboleh ubah yang belum diketahui manakala $m$ dan $c$ mesti mengandungi hanya pemalar.

y = ax + \dfrac{b}{x} \;\Rightarrow\; \dfrac{y}{x} = b\left(\dfrac{1}{x^2}\right) + a

Penukaran Persamaan Eksponen kepada Bentuk Linear (Logaritma)

Bagi persamaan berbentuk eksponen $y = pq^x$ atau $y = \dfrac{p^x}{q}$, ambil logaritma (biasanya $\log_{10}$) bagi kedua-dua belah persamaan supaya kuasa $x$ boleh diturunkan menjadi pekali. Selepas dipermudahkan, bandingkan dengan $Y = mX + c$ untuk mengenal pasti $Y$, $X$, $m$ dan $c$ dalam sebutan $\log_{10} y$, $\log_{10} p$ dan $\log_{10} q$.

y = pq^x \;\Rightarrow\; \log_{10} y = (\log_{10} q)x + \log_{10} p

Penukaran Persamaan Bentuk y = ax^b (Kuasa)

Untuk persamaan tak linear yang melibatkan kuasa pemboleh ubah $x$ seperti $y = ax^b$, ambil logaritma kedua-dua belah untuk memperoleh $\log_{10} y = b \log_{10} x + \log_{10} a$. Melalui perbandingan dengan $Y = mX + c$, $Y = \log_{10} y$, $X = \log_{10} x$, $m = b$ dan $c = \log_{10} a$. Kaedah ini sesuai apabila kedua-dua pemalar berada dalam kedudukan kuasa atau pendaraban.

y = ax^b \;\Rightarrow\; \log_{10} y = b(\log_{10} x) + \log_{10} a

Menentukan Nilai Pemalar Asal daripada Kecerunan dan Pintasan-Y

Selepas garis lurus penyuaian terbaik dilukis, kecerunan, $m$, dan pintasan-$Y$, $c$, dibaca atau dikira daripada graf tersebut. Nilai $m$ dan $c$ ini kemudian disamakan dengan ungkapan pemalar asal (contohnya $m = \log_{10} q$ atau $c = -\log_{10} q$) untuk menyelesaikan nilai pemalar seperti $p$, $q$, $a$ atau $b$ dalam persamaan tak linear asal, selalunya melibatkan penyongsangan logaritma ($y = 10^x$).

Mentafsir Maklumat daripada Garis Lurus Penyuaian Terbaik

Berdasarkan garis lurus penyuaian terbaik, ramalan boleh dibuat bagi nilai pemboleh ubah $x$ atau $y$ yang tidak terdapat dalam data eksperimen, tanpa perlu mengulangi eksperimen tersebut. Jika nilai pemboleh ubah yang dikehendaki berada dalam julat titik-titik data (interpolasi), baca terus daripada graf. Jika berada di luar julat titik-titik (ekstrapolasi), garis lurus perlu dipanjangkan atau persamaan garis lurus digunakan untuk mengira nilai tersebut.

Aplikasi Hukum Linear dalam Masalah Sebenar

Dalam menyelesaikan masalah kontekstual (contohnya kadar tumbesaran tumbuhan, populasi bakteria, hubungan suhu-masa), langkah penyelesaian mengikut kaedah polya: (1) kenal pasti pemboleh ubah untuk paksi-$X$ dan paksi-$Y$ berdasarkan penukaran persamaan tak linear kepada bentuk linear; (2) bina jadual baharu menggunakan nilai pemboleh ubah yang ditukar; (3) plot graf garis lurus penyuaian terbaik dengan skala yang sesuai; (4) baca kecerunan dan pintasan-$Y$ daripada graf, kemudian bandingkan dengan $Y = mX + c$ untuk mencari nilai pemalar yang dikehendaki; (5) gunakan persamaan yang diperoleh untuk membuat ramalan atau anggaran nilai lain.

Contoh soalan

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai $x$ dan $y$ yang didapati daripada satu uji kaji. Pemboleh ubah $x$ dan $y$ dihubungkan oleh persamaan $3y - px^2 = qx$, dengan keadaan $p$ dan $q$ ialah pemalar. \n\n$x$: 1, 2, 3, 5, 7, 9 \n$y$: 20, 34, 48, 60, 63, 36 \n\n(a) Tukarkan persamaan $3y - px^2 = qx$ kepada bentuk linear. (b) Plot graf $\\dfrac{y}{x}$ melawan $x$, dengan menggunakan skala 1 cm kepada 2 unit pada paksi-$x$ dan 1 cm kepada 5 unit pada paksi-$\\dfrac{y}{x}$. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. (c) Daripada graf, cari nilai $p$ dan nilai $q$.

• Bahagikan kedua-dua belah persamaan $3y - px^2 = qx$ dengan $3x$: $\\dfrac{y}{x} - \\dfrac{px}{3} = \\dfrac{q}{3}$.
• Susun semula: $\\dfrac{y}{x} = \\dfrac{p}{3}(x) + \\dfrac{q}{3}$.
• Bandingkan dengan $Y = mX + c$: melalui perbandingan, $Y = \\dfrac{y}{x}$, $X = x$, $m = \\dfrac{p}{3}$ dan $c = \\dfrac{q}{3}$.
• Bina jadual baharu bagi $\\dfrac{y}{x}$: apabila $x = 1, 2, 3, 5, 7, 9$, maka $\\dfrac{y}{x} = 20, 17, 16, 12, 9, 4$.
• Plot graf $\\dfrac{y}{x}$ melawan $x$ menggunakan skala yang diberikan, dan lukis garis lurus penyuaian terbaik merentasi titik-titik tersebut.
• Baca pintasan-$Y$ daripada graf: pintasan-$y$ = 22, jadi $\\dfrac{q}{3} = 22$, maka $q = 66$.
• Kira kecerunan menggunakan dua titik pada garis, contohnya (0, 22) dan (9, 4): kecerunan $= \\dfrac{4 - 22}{9 - 0} = -2$, jadi $\\dfrac{p}{3} = -2$, maka $p = -6$.

p = -6, q = 66