Janjang — Nota JomSkor

Janjang Aritmetik (Definisi)

Janjang aritmetik ialah suatu jujukan nombor dengan setiap sebutan diperoleh dengan menambahkan satu pemalar (beza sepunya, $d$) kepada sebutan sebelumnya. Untuk mengesahkan sama ada jujukan ialah janjang aritmetik, hitung beza antara sebutan berturutan; jika semua beza adalah sama, jujukan itu ialah janjang aritmetik.

$d = T_2 - T_1 = T_3 - T_2 = \ldots = T_n - T_{n-1}$

Sebutan ke-n Janjang Aritmetik

Dengan $a$ ialah sebutan pertama, $d$ ialah beza sepunya dan $n$ ialah bilangan sebutan. Rumus ini diterbitkan melalui kaedah deduksi (Inkuiri 2) dengan memerhatikan corak $T_1 = a$, $T_2 = a + d$, $T_3 = a + 2d$, dan seterusnya.

$T_n = a + (n-1)d$

Hasil Tambah n Sebutan Pertama Janjang Aritmetik

Diterbitkan menggunakan kaedah luas segi empat tepat yang dibina daripada sebutan-sebutan janjang aritmetik (Inkuiri 3). Rumus ini boleh juga ditulis sebagai $S_n = \frac{n}{2}[a + T_n]$ atau $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$, dengan $l$ ialah sebutan terakhir.

$$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$$

Hubungan Sn dan Tn (Janjang Aritmetik)

Sebutan ke-$n$ bagi suatu janjang boleh diperoleh dengan menolak hasil tambah $n$ sebutan pertama dengan hasil tambah $(n-1)$ sebutan pertama. Ini berguna apabila hanya rumus $S_n$ diberi dan sebutan tertentu perlu dicari.

$T_n = S_n - S_{n-1}$

Janjang Geometri (Definisi)

Janjang geometri ialah suatu jujukan nombor dengan setiap sebutan diperoleh dengan mendarabkan suatu pemalar (nisbah sepunya, $r$) dengan sebutan sebelumnya. Untuk mengesahkan janjang geometri, hitung nisbah antara sebutan berturutan; jika semua nisbah adalah sama, jujukan itu ialah janjang geometri.

$r = \dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{T_3}{T_2} = \ldots = \dfrac{T_n}{T_{n-1}}$

Sebutan ke-n Janjang Geometri

Dengan $a$ ialah sebutan pertama, $r$ ialah nisbah sepunya dan $n$ ialah bilangan sebutan. Rumus ini diterbitkan melalui kaedah deduksi (Inkuiri 5) dengan memerhatikan corak $T_1 = a$, $T_2 = ar$, $T_3 = ar^2$, dan seterusnya.

$T_n = ar^{n-1}$

Hasil Tambah n Sebutan Pertama Janjang Geometri

Diterbitkan dengan mendarabkan $S_n$ dengan $r$ dan menolak (atau menolak secara songsang) $S_n$ asal, supaya sebutan di tengah-tengah antara $a$ dan $ar^n$ dihapuskan. Kedua-dua bentuk rumus adalah setara secara matematik; pilih bentuk mengikut nilai $r$ untuk memudahkan pengiraan.

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \ r \neq 1 \ (\text{digunakan apabila } |r| > 1)$$ $$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}, \ r \neq 1 \ (\text{digunakan apabila } |r| < 1)$$

Hubungan Sn dan Tn (Janjang Geometri)

Sama seperti janjang aritmetik, sebutan ke-$n$ bagi janjang geometri boleh dihitung dengan menolak hasil tambah $n$ sebutan pertama dengan hasil tambah $(n-1)$ sebutan pertama.

$T_n = S_n - S_{n-1}$

Hasil Tambah Ketakterhinggaan Janjang Geometri

Apabila $n$ semakin bertambah dan menghampiri ketakterhinggaan ($n \to \infty$) dengan syarat $|r| < 1$, nilai $r^n$ akan menghampiri sifar ($r^n \to 0$), maka $S_n$ akan menghampiri $\frac{a}{1-r}$. Konsep ini juga digunakan untuk menukar perpuluhan berulang kepada pecahan (contohnya $0.5\overline{63}$ ditulis sebagai $0.5 + S_\infty$ dengan siri geometri $0.063 + 0.00063 + \ldots$).

$$S_\infty = \frac{a}{1-r}, \ |r| < 1$$

Aplikasi Janjang Aritmetik dan Geometri

Janjang aritmetik biasa digunakan untuk situasi kenaikan/penurunan tetap seperti kenaikan gaji tahunan tetap, susunan tempat duduk, dan bilangan objek yang bertambah secara seragam. Janjang geometri biasa digunakan untuk situasi pertumbuhan/susutan berkadar tetap seperti pertumbuhan bakteria, lantunan bola, faedah tetap majmuk, dan pemasaran rangkaian (multi-level marketing). Kaedah menyelesaikan masalah mengikut langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi, dan membuat refleksi.

Perbezaan Janjang dengan Siri

Janjang ditulis dalam bentuk sebutan berasingan $T_1, T_2, T_3, \ldots$ manakala siri (aritmetik atau geometri) ditulis dalam bentuk hasil tambah sebutan $T_1 + T_2 + T_3 + \ldots$. Sebagai contoh, $1, 2, 4, \ldots$ ialah suatu janjang geometri manakala $1 + 2 + 4 + \ldots$ ialah suatu siri geometri.

Contoh soalan

Sebuah syarikat telekomunikasi berjaya menjual sebanyak 0.5 juta buah telefon pintar pada tahun 2015. Setiap tahun, jualan telefon pintar syarikat tersebut meningkat sebanyak 4%. (a) Cari jumlah telefon pintar yang dijual dari tahun 2015 hingga tahun 2020. (b) Jika 33% daripada telefon pintar yang dijual dari tahun 2017 hingga tahun 2020 bersaiz 5 inci dan 14% bersaiz 6 inci, hitung jumlah telefon pintar yang bersaiz 5 inci dan 6 inci.

• Kenal pasti janjang geometri (dalam juta): 0.5, 0.5(1.04), 0.5(1.04)^2, ... dengan sebutan pertama a = 0.5 dan nisbah sepunya r = 1.04.
• (a) Dari tahun 2015 hingga 2020 terdapat 6 sebutan (n = 6). Gunakan S_n = a(r^n - 1) / (r - 1): S_6 = 0.5(1.04^6 - 1) / (1.04 - 1) = 3.316 juta.
• (b) Cari jumlah telefon pintar dari tahun 2017 hingga 2020 dengan S_6 - S_2, iaitu tolak jumlah 2 sebutan pertama (tahun 2015 dan 2016) daripada S_6.
• S_2 = 0.5(1.04^2 - 1) / (1.04 - 1) = 1.02 juta.
• S_6 - S_2 = 3.316 - 1.02 = 2.296 juta (jumlah dijual dari 2017 hingga 2020).
• Bilangan bersaiz 5 inci = 33% x 2.296 juta = 0.758 juta.
• Bilangan bersaiz 6 inci = 14% x 2.296 juta = 0.321 juta.
• Jumlah telefon pintar bersaiz 5 inci dan 6 inci = 0.758 + 0.321 = 1.079 juta.

(a) S_6 = 3.316 juta telefon pintar. (b) Jumlah telefon pintar bersaiz 5 inci dan 6 inci ialah 1.079 juta.