Indeks, Surd dan Logaritma — Nota JomSkor

Hukum Indeks - Pendaraban, Pembahagian dan Kuasa bagi Kuasa

Apabila dua ungkapan indeks dengan asas yang sama didarab, indeksnya ditambah; apabila dibahagi, indeksnya ditolak. Apabila suatu ungkapan indeks dikuasakan lagi, indeksnya didarabkan. Hukum ini digunakan untuk memudahkan ungkapan algebra yang melibatkan indeks seperti $\dfrac{4^{2n} \times 4^m}{4^n} = 4^{n+m}$.

$a^m \times a^n = a^{m+n}$, $a^m \div a^n = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$

Indeks Sifar, Negatif dan Pecahan

Sebarang nombor bukan sifar dikuasakan sifar bernilai 1. Indeks negatif menunjukkan songsangan, manakala indeks pecahan menunjukkan punca kuasa. Contohnya $a^{-\frac{1}{2}} \times 2a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{-1} = \dfrac{2}{a}$.

$a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$, $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Menyelesaikan Persamaan Indeks

Untuk menyelesaikan persamaan indeks, ungkapkan kedua-dua belah persamaan dalam asas yang sama, kemudian bandingkan indeksnya. Jika asas tidak boleh disamakan, konsep ini akan digantikan dengan logaritma pada subtopik 4.3.

Jika $a^m = a^n$, maka $m = n$; jika $a^m = b^m$, maka $a = b$ (apabila $a > 0, a \neq 1$)

Definisi Surd dan Nombor Tak Nisbah

Surd ialah punca kuasa yang tidak boleh dipermudahkan kepada integer atau perpuluhan berulang, dan menghasilkan perpuluhan tak terhingga dan tidak berulang. Contohnya $\sqrt{2}$ ialah surd kerana tidak boleh dipermudahkan, tetapi $\sqrt{4} = 2$ bukan surd. Nombor perpuluhan berulang seperti $0.676767\ldots$ boleh ditukar kepada pecahan (nombor nisbah) dengan kaedah persamaan serentak, contohnya $0.676767\ldots = \dfrac{67}{99}$.

$\sqrt[n]{a}$, dengan $a$ ialah integer positif

Hukum Surd - Pendaraban dan Pembahagian

Dua surd yang didarab atau dibahagi boleh digabungkan menjadi satu surd tunggal di bawah punca kuasa yang sama, contohnya $\sqrt{3a} \times \sqrt{5a} = \sqrt{15a^2} = a\sqrt{15}$. Perlu diingat bahawa $\sqrt[n]{a} \neq n\sqrt{a}$.

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (untuk $a > 0, b > 0$)

Memudahkan Surd kepada Bentuk a√b

Surd dipermudahkan dengan mencari faktor nombor kuasa dua (atau kuasa n) yang terbesar bagi nombor di bawah punca. Contohnya $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$, dengan 9 ialah faktor kuasa dua sempurna terbesar bagi 18.

$\sqrt{n^2 \times k} = n\sqrt{k}$

Surd Serupa dan Operasi Tambah/Tolak Surd

Surd serupa ialah surd yang mempunyai faktor nombor tak nisbah yang sama selepas dipermudahkan, contohnya $12\sqrt{3}$, $63\sqrt{3}$ dan $25\sqrt{3}$ ialah surd serupa. Hanya surd serupa boleh ditambah atau ditolak secara terus, seperti $\sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$.

$m\sqrt{k} \pm n\sqrt{k} = (m \pm n)\sqrt{k}$

Pendaraban Ungkapan Melibatkan Surd

Ungkapan berkurung yang melibatkan surd didarabkan sebagaimana pengembangan algebra biasa, kemudian surd serupa dicantumkan. Contohnya $(6 + 2\sqrt{2})(1 + 3\sqrt{2}) = 6 + 18\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 12 = 18 + 20\sqrt{2}$.

$(a + \sqrt{b})(c + \sqrt{d}) = ac + a\sqrt{d} + c\sqrt{b} + \sqrt{bd}$

Menisbahkan Penyebut Surd Tunggal

Untuk menghapuskan surd daripada penyebut, pengangka dan penyebut didarabkan dengan surd yang sama seperti dalam penyebut, kerana $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$.

$\dfrac{1}{m\sqrt{a}} = \dfrac{1}{m\sqrt{a}} \times \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{ma}$

Menisbahkan Penyebut dengan Surd Konjugat

Apabila penyebut mempunyai dua sebutan surd (bentuk binomial), pengangka dan penyebut didarabkan dengan surd konjugat bagi penyebut supaya hukum beza dua kuasa dua menghapuskan surd daripada penyebut, contohnya $\dfrac{1}{7\sqrt{2}+5\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{2}-5\sqrt{3}}{(7\sqrt{2})^2-(5\sqrt{3})^2} = \dfrac{7\sqrt{2}-5\sqrt{3}}{23}$.

Surd konjugat bagi $m\sqrt{a} + n\sqrt{b}$ ialah $m\sqrt{a} - n\sqrt{b}$, dan $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 - b$

Hubungan Bentuk Indeks dan Bentuk Logaritma

Logaritma ialah songsangan bagi fungsi eksponen. Asas nombor kuasa dalam bentuk indeks menjadi asas logaritma, dan indeks nombor kuasa menjadi nilai logaritma. Sifat asas: $\log_a 1 = 0$ dan $\log_a a = 1$. Logaritma dengan asas 10 dipanggil logaritma biasa ($\log_{10} a = \lg a$), manakala logaritma dengan asas $e$ dipanggil logaritma jati atau $\ln a$.

$\log_a N = x \iff N = a^x$, dengan $a > 0, a \neq 1, N > 0$

Hukum Asas Logaritma

Ketiga-tiga hukum ini (hukum hasil darab, hukum hasil bahagi dan hukum kuasa) diperoleh daripada hukum indeks dan takrifan logaritma, dan digunakan untuk memudahkan atau menggabungkan ungkapan logaritma menjadi satu logaritma tunggal atau sebaliknya.

$\log_a xy = \log_a x + \log_a y$, $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$, $\log_a x^n = n\log_a x$

Hukum Tukar Asas Logaritma

Hukum ini membolehkan logaritma dengan sebarang asas dinilai menggunakan kalkulator saintifik dengan menukarkan asasnya kepada asas 10 (log) atau asas $e$ (ln). Ia juga berguna untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan logaritma pelbagai asas dalam sebutan pemboleh ubah lain.

$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$; khususnya $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$

Menyelesaikan Persamaan Indeks dan Logaritma

Apabila asas kedua-dua belah persamaan indeks tidak boleh disamakan (contohnya $3^{x-4} = 50^{x-3}$), logaritma diambil pada kedua-dua belah persamaan, hukum kuasa logaritma digunakan untuk menurunkan indeks, kemudian persamaan linear diselesaikan untuk $x$. Kaedah serupa digunakan untuk persamaan logaritma jati seperti $\ln(4x-2) = 5$.

Ambil log kedua-dua belah: jika $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, maka $f(x)\log a = g(x)\log b$

Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma

Konsep indeks, surd dan logaritma digunakan secara meluas dalam masalah kehidupan sebenar seperti pertumbuhan bakteria, reputan bahan radioaktif, susut nilai kereta, pelaburan berkadar faedah dan tekanan udara mengikut ketinggian. Rumus eksponen digunakan untuk meramal nilai masa hadapan, manakala logaritma digunakan untuk mencari masa atau bilangan tahun yang diperlukan.

Contoh: $A(n) = A_0 \times a^{kn}$ (pertumbuhan/reputan)

Contoh soalan

Selesaikan persamaan $3^{x-4} = 50^{x-3}$.

• Ambil logaritma asas 10 pada kedua-dua belah persamaan: $(x-4)\log 3 = (x-3)\log 50$
• Kembangkan kedua-dua belah: $x\log 3 - 4\log 3 = x\log 50 - 3\log 50$
• Kumpulkan sebutan yang mengandungi x di satu belah: $x\log 3 - x\log 50 = -3\log 50 + 4\log 3$
• Faktorkan x: $x(\log 3 - \log 50) = -3\log 50 + 4\log 3$
• Selesaikan untuk x: $x = \dfrac{-3\log 50 + 4\log 3}{\log 3 - \log 50}$
• Hitung menggunakan kalkulator saintifik untuk mendapatkan nilai x

x = 2.610