Sistem Persamaan — Nota JomSkor

Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah terdiri daripada dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan set pemboleh ubah yang sama, iaitu $x$, $y$ dan $z$. Setiap persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah membentuk satu satah dalam ruang tiga dimensi apabila dilakarkan, berbeza dengan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah ($ax + by = c$) yang membentuk garis lurus pada satah dua dimensi.

$ax + by + cz = d$, dengan keadaan $a, b, c$ bukan sifar

Menentukan Sama Ada Suatu Sistem adalah Sistem Persamaan Linear Tiga Pemboleh Ubah

Untuk mengesahkan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah, semua persamaan mesti mempunyai tepat tiga pemboleh ubah yang sama dan setiap pemboleh ubah mesti berkuasa 1 (linear). Jika mana-mana persamaan mengandungi pemboleh ubah berkuasa lebih daripada 1 (contohnya $x^2$, hasil darab dua pemboleh ubah seperti $xy$, atau pecahan pemboleh ubah), maka sistem itu BUKAN sistem persamaan linear.

Tiga Jenis Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Pemboleh Ubah

Terdapat tiga kemungkinan hasil apabila menyelesaikan sistem tiga persamaan linear tiga pemboleh ubah, bergantung pada bagaimana ketiga-tiga satah bersilang: (1) Satu penyelesaian — ketiga-tiga satah bersilang hanya pada satu titik sahaja (diperoleh nilai unik $x$, $y$, $z$); (2) Penyelesaian tak terhingga — ketiga-tiga satah bersilang pada satu garis lurus (semasa penyelesaian akan terhasil pernyataan benar seperti $0 = 0$); (3) Tiada penyelesaian — satah-satah tidak bersilang pada mana-mana titik yang sama (semasa penyelesaian akan terhasil pernyataan palsu seperti $0 = 12$).

Kaedah Penghapusan bagi Sistem Tiga Persamaan Linear

Langkah-langkah: (1) Pilih mana-mana dua persamaan dan hapuskan satu pemboleh ubah (contohnya $x$) dengan mendarab persamaan supaya pekali pemboleh ubah tersebut sama, kemudian tolak atau tambah kedua-dua persamaan. (2) Pilih pasangan persamaan yang lain dan hapuskan pemboleh ubah yang sama ($x$) untuk mendapat persamaan baharu dalam dua pemboleh ubah sahaja ($y$ dan $z$). (3) Selesaikan kedua-dua persamaan baharu (dalam $y$ dan $z$) secara serentak menggunakan penghapusan atau penggantian. (4) Gantikan semula nilai-nilai yang diperoleh ke dalam persamaan asal untuk mendapatkan nilai pemboleh ubah yang ketiga.

Kaedah Penggantian bagi Sistem Tiga Persamaan Linear

Langkah-langkah: (1) Ungkapkan satu pemboleh ubah (contohnya $z$) dalam sebutan dua pemboleh ubah lain daripada satu persamaan. (2) Gantikan ungkapan itu ke dalam persamaan kedua untuk mendapat ungkapan bagi pemboleh ubah lain (contohnya $y$ dalam sebutan $x$). (3) Gantikan kedua-dua ungkapan ke dalam persamaan ketiga untuk mendapat satu persamaan dalam satu pemboleh ubah sahaja ($x$), lalu selesaikan. (4) Gantikan balik nilai $x$ untuk mencari $y$ dan $z$.

Persamaan Serentak Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear

Persamaan serentak jenis ini melibatkan satu persamaan linear (contoh: $ax + by = c$) dan satu persamaan tak linear (contoh: melibatkan $x^2$, $y^2$, $xy$, atau pecahan seperti $\frac{1}{x}$). Penyelesaian persamaan serentak bermaksud mencari nilai-nilai pemboleh ubah yang memuaskan kedua-dua persamaan serentak. Ia boleh diselesaikan dengan kaedah penggantian, kaedah penghapusan atau kaedah perwakilan graf. Secara geometri, penyelesaian ialah titik/titik-titik persilangan antara graf kedua-dua persamaan.

Kaedah Penggantian untuk Persamaan Serentak Linear dan Tak Linear

Langkah-langkah: (1) Ungkapkan satu pemboleh ubah (contohnya $x$) dalam sebutan pemboleh ubah lain ($y$) daripada persamaan linear. (2) Gantikan ungkapan itu ke dalam persamaan tak linear untuk mendapat satu persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah sahaja. (3) Selesaikan persamaan kuadratik itu dengan kaedah pemfaktoran, rumus kuadratik $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, atau penyempurnaan kuasa dua untuk mendapat dua nilai bagi pemboleh ubah tersebut. (4) Gantikan setiap nilai yang diperoleh semula ke dalam ungkapan di langkah (1) untuk mendapat pasangan penyelesaian yang sepadan.

Kaedah Perwakilan Graf untuk Persamaan Serentak

Bina jadual nilai bagi setiap persamaan (linear dan tak linear) berdasarkan domain yang diberi, kemudian lakarkan kedua-dua graf pada set paksi yang sama. Titik-titik persilangan antara kedua-dua graf mewakili pasangan penyelesaian $(x, y)$ bagi persamaan serentak tersebut. Kaedah ini berguna terutamanya apabila persamaan sukar diselesaikan secara algebra atau untuk menunjukkan penyelesaian secara visual.

Menyelesaikan Masalah Kehidupan Seharian Menggunakan Sistem Persamaan

Banyak situasi sebenar (kos perniagaan, kadar sewa, dimensi bentuk geometri, campuran larutan) boleh dimodelkan sebagai sistem persamaan linear tiga pemboleh ubah atau persamaan serentak linear-tak linear. Langkah penyelesaian masalah mengikut pendekatan Polya: (1) Memahami masalah — kenal pasti maklumat diberi; (2) Merancang strategi — takrifkan pemboleh ubah dan bentuk persamaan; (3) Melaksanakan strategi — selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah penghapusan/penggantian; (4) Membuat refleksi — sahkan jawapan dengan menggantikannya semula ke dalam persamaan asal.

Contoh soalan

Sebuah kilang pembungkusan makanan ingin membungkus dodol dalam sebuah bekas berbentuk prisma tegak dengan tapak segi empat sama seperti dalam rajah, iaitu segi tiga bersudut tegak dengan tapak $x$ cm dan tinggi bekas $y$ cm. Diberi jumlah panjang sisi prisma tegak itu ialah 133 cm dan $ED = BC = 25$ cm (dengan $BC^2 = x^2 + y^2$). Adakah sebekal dodol dengan isi padu $600 \, \text{cm}^3$ dapat dibungkus di dalam bekas tersebut? Jelaskan.

• Bentukkan dua persamaan berdasarkan maklumat yang diberi: persamaan tak linear daripada $BC = 25$: $x^2 + y^2 = 25^2$ ... (1); dan persamaan linear daripada jumlah panjang sisi prisma: $5x + 2y + 50 = 133$, iaitu $5x + 2y = 83$ ... (2).
• Daripada persamaan (2), ungkapkan $y$ dalam sebutan $x$: $y = \frac{83 - 5x}{2}$ ... (3).
• Gantikan (3) ke dalam (1): $x^2 + \left(\frac{83 - 5x}{2}\right)^2 = 25^2$.
• Kembangkan dan permudahkan: $x^2 + \frac{6889 - 830x + 25x^2}{4} = 625$, iaitu $4x^2 + 25x^2 - 830x + 6889 - 2500 = 0$, menghasilkan $29x^2 - 830x + 4389 = 0$.
• Faktorkan persamaan kuadratik: $(29x - 627)(x - 7) = 0$, memberi $x = \frac{627}{29}$ atau $x = 7$.
• Gantikan setiap nilai $x$ ke dalam (3) untuk cari $y$. Bagi $x = \frac{627}{29}$, diperoleh $y = -\frac{364}{29}$ (nilai negatif, diabaikan kerana panjang mesti positif). Bagi $x = 7$: $y = \frac{83 - 5(7)}{2} = 24$ cm.
• Kira isi padu bekas menggunakan $x = 7$ dan $y = 24$: Isi padu $= \frac{1}{2} \times 7 \times 24 \times 7 = 588 \, \text{cm}^3$.
• Bandingkan isi padu bekas (588 cm³) dengan isi padu dodol yang dikehendaki (600 cm³): oleh kerana $600 > 588$, dodol tersebut TIDAK dapat dibungkus di dalam bekas kerana isi padu bekas tidak mencukupi.

Tidak dapat dibungkus, kerana isi padu bekas hanya 588 cm³, iaitu kurang daripada 600 cm³ yang dikehendaki.