Fungsi Kuadratik — Nota JomSkor

Persamaan Kuadratik Bentuk Am

Persamaan kuadratik ialah persamaan dengan satu pembolehubah berkuasa tertinggi 2. Penyelesaian atau punca-punca persamaan ax² + bx + c = 0 ialah koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara graf y = ax² + bx + c dengan paksi-x.

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua

Pindahkan sebutan pemalar ke sebelah kanan, pastikan pekali x² ialah 1 (bahagikan seluruh persamaan dengan a jika perlu), kemudian tambah kuasa dua bagi separuh pekali x, (pekali x/2)², pada kedua-dua belah persamaan supaya sebelah kiri menjadi (x + pekali x/2)².

$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}$

Kaedah Rumus Kuadratik

Rumus ini terbitan daripada kaedah penyempurnaan kuasa dua dan digunakan untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 dengan membandingkan pekali a, b dan c terlebih dahulu.

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Hasil Tambah dan Hasil Darab Punca

Jika α dan β ialah punca-punca bagi ax² + bx + c = 0, maka persamaan itu boleh ditulis sebagai x² − (α + β)x + αβ = 0. Hubungan ini diperoleh dengan membandingkan (x − α)(x − β) = 0 dengan bentuk x² + (b/a)x + (c/a) = 0.

$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \dfrac{c}{a}$

Membentuk Persamaan Kuadratik Baharu daripada Punca

Untuk membentuk persamaan kuadratik dengan punca-punca baharu (contohnya α + 3 dan β + 3, atau 2α dan 2β, atau α² dan β²), kira dahulu hasil tambah dan hasil darab punca baharu itu dalam sebutan α + β dan αβ yang diketahui, kemudian substitusikan ke dalam bentuk x² − (hasil tambah)x + (hasil darab) = 0.

$x^2 - (\text{hasil tambah punca})x + (\text{hasil darab punca}) = 0$

Ketaksamaan Kuadratik

Ketaksamaan kuadratik boleh diselesaikan menggunakan kaedah lakaran graf, garis nombor atau jadual tanda. Langkah pertama ialah menyelesaikan persamaan kuadratik sepadan (= 0) untuk mendapatkan punca, kemudian tentukan julat nilai x yang memenuhi tanda ketaksamaan berdasarkan bentuk graf atau tanda setiap faktor.

$(x-a)(x-b) > 0 \Rightarrow x < a \text{ atau } x > b; \quad (x-a)(x-b) < 0 \Rightarrow a < x < b \ (a < b)$

Pembezalayan (Diskriminan) dan Jenis Punca

Nilai pembezalayan D menentukan jenis punca sesuatu persamaan kuadratik: jika D > 0, dua punca nyata dan berbeza; jika D = 0, dua punca nyata yang sama; jika D < 0, tiada punca nyata (punca khayalan/tidak wujud dalam nombor nyata).

$D = b^2 - 4ac$

Menggunakan Pembezalayan untuk Menyelesaikan Masalah

Pembezalayan D = b² − 4ac digunakan untuk mencari nilai pemalar yang tidak diketahui apabila diberi maklumat tentang jenis punca — contohnya jika dua punca sama (D = 0), dua punca berbeza (D > 0), atau tiada punca nyata (D < 0). Persamaan perlu disusun semula dahulu ke bentuk am ax² + bx + c = 0 sebelum mengenal pasti a, b dan c.

$D \geq 0 \Leftrightarrow \text{punca nyata wujud}$

Kedudukan Graf Fungsi Kuadratik dan Jenis Punca

Kedudukan graf f(x) berkait rapat dengan nilai a dan D = b² − 4ac: apabila D > 0 graf menyilang paksi-x pada dua titik berbeza; apabila D = 0 graf menyentuh paksi-x pada satu titik sahaja (tangen); apabila D < 0 graf tidak menyentuh paksi-x langsung. Jika a > 0 graf berbentuk ∪ (titik minimum); jika a < 0 graf berbentuk ∩ (titik maksimum).

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Kesan Perubahan a, b, c terhadap Graf Bentuk Am

Perubahan nilai a mengubah bentuk dan kelebaran graf (pintasan-y kekal); perubahan nilai b mengubah kedudukan verteks berbanding paksi-y sahaja (bentuk graf dan pintasan-y kekal); perubahan nilai c mengubah kedudukan graf secara menegak sahaja (bentuk graf kekal).

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Tiga Bentuk Fungsi Kuadratik

Bentuk am ax² + bx + c mempunyai verteks (−b/2a, f(−b/2a)) dan paksi simetri x = −b/2a. Bentuk verteks a(x − h)² + k mempunyai verteks (h, k) dan paksi simetri x = h; ditukar daripada bentuk am menggunakan penyempurnaan kuasa dua. Bentuk pintasan a(x − p)(x − q) menunjukkan punca p dan q secara terus, dengan verteks pada ((p+q)/2, f((p+q)/2)); ditukar menggunakan pemfaktoran atau rumus kuadratik.

$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k = a(x-p)(x-q)$

Kesan Perubahan a, h, k terhadap Graf Bentuk Verteks

Perubahan nilai a mengubah bentuk/kelebaran graf tanpa mengubah paksi simetri atau nilai minimum/maksimum; perubahan nilai h menggerakkan graf secara mengufuk (h bertambah → graf bergerak ke kanan) tanpa mengubah nilai minimum/maksimum; perubahan nilai k menggerakkan graf secara menegak (k bertambah → graf bergerak ke atas) tanpa mengubah paksi simetri.

$f(x) = a(x-h)^2 + k$

Melakar Graf dan Menyelesaikan Masalah Fungsi Kuadratik

Langkah melakar graf: kenal pasti nilai a untuk bentuk graf, cari pembezalayan untuk kedudukan graf, tentukan verteks (nilai minimum/maksimum), cari titik persilangan paksi-x (selesaikan f(x) = 0) dan pintasan-y (cari f(0)), kemudian plotkan dan lukis parabola licin bersimetri. Aplikasi dunia sebenar (contoh lontaran objek) selalunya memerlukan bentuk verteks untuk mencari nilai maksimum/minimum dan bentuk pintasan untuk mencari masa/jarak apabila fungsi bersamaan sifar.

$\text{verteks} = \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

Contoh soalan

Suresh dipilih untuk mewakili sekolah dalam pertandingan merejam lembing peringkat daerah. Suresh merejam batang lembing pada jarak 3 meter daripada permukaan tanah. Tinggi lembing yang direjam diberi oleh fungsi h(t) = −5t² + 14t + 3, dengan keadaan h ialah ketinggian lembing dalam meter, dan t ialah masa dalam saat. (a) Cari tinggi maksimum, dalam meter, lembing yang direjam oleh Suresh. (b) Hitung masa, dalam saat, apabila lembing itu menyentuh permukaan tanah.

• (a) Tukarkan h(t) = −5t² + 14t + 3 kepada bentuk verteks dengan mengeluarkan faktor −5: h(t) = −5(t² − (14/5)t − 3/5)
• Tambah dan tolak (pekali t / 2)² = (7/5)²: h(t) = −5[(t − 7/5)² − (7/5)² − 3/5]
• Permudahkan: h(t) = −5(t − 7/5)² + 64/5, jadi verteks ialah (7/5, 64/5)
• Oleh sebab a = −5 < 0, nilai maksimum bagi h(t) ialah 64/5 = 12.8 apabila t = 7/5 = 1.4 saat. Maka tinggi maksimum lembing ialah 12.8 meter.
• (b) Apabila lembing menyentuh permukaan tanah, h(t) = 0: −5t² + 14t + 3 = 0
• Darabkan dengan −1 dan selesaikan: 5t² − 14t − 3 = 0, iaitu (5t + 1)(t − 3) = 0
• Maka t = −1/5 (ditolak kerana masa tidak boleh negatif) atau t = 3
• Maka, masa apabila lembing menyentuh permukaan tanah ialah 3 saat.

Tinggi maksimum = 12.8 meter (pada t = 1.4 saat); masa menyentuh tanah = 3 saat