Fungsi — Nota JomSkor

Definisi Fungsi dan Jenis Hubungan

Fungsi dari set $X$ kepada set $Y$ ialah hubungan khas yang memetakan setiap unsur $x \in X$ kepada hanya satu unsur $y \in Y$. Hubungan boleh terdiri daripada empat jenis: satu dengan satu, banyak dengan satu, satu dengan banyak, dan banyak dengan banyak. Hanya hubungan **satu dengan satu** dan **banyak dengan satu** adalah fungsi, kerana setiap objek mesti mempunyai tepat satu imej.

Ujian Garis Mencancang

Untuk menentukan sama ada graf suatu hubungan ialah fungsi, lukis garis mencancang (garis selari dengan paksi-$y$) merentasi graf. Jika garis mencancang memotong graf pada **hanya satu titik** di mana-mana kedudukan, hubungan itu ialah fungsi. Jika garis mencancang memotong graf pada dua titik atau lebih, hubungan itu bukan fungsi.

Tatatanda Fungsi

Fungsi $f$ yang memetakan $x$ kepada $y$ ditulis sebagai $f: x \to y$ atau $f(x) = y$, dengan $x$ ialah objek dan $y = f(x)$ ialah imej bagi $x$ di bawah fungsi $f$. Contohnya, $f: x \to 2x+1$ atau $f(x) = 2x+1$ dibaca sebagai "fungsi $f$ memetakan $x$ kepada $2x+1$".

$f: x \to y$ atau $f(x) = y$

Fungsi Nilai Mutlak

Fungsi nilai mutlak $f(x) = |x|$ memberikan nilai berangka bagi $x$ tanpa mengira tanda, dan grafnya berbentuk V dengan bucu pada $(0,0)$. Untuk fungsi seperti $f(x) = |2x-1|$, persamaan $|2x-1| = k$ (dengan $k \geq 0$) diselesaikan dengan mempertimbangkan dua kes: $2x-1 = k$ atau $2x-1 = -k$.

$$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Domain, Kodomain dan Julat

**Domain** ialah set nilai $x$ yang mungkin, yang membuatkan fungsi tertakrif. **Kodomain** ialah set nilai $y$ yang mungkin muncul bagi fungsi tersebut (set sasaran). **Julat** ialah set nilai $y$ yang sebenarnya terhasil selepas menggantikan semua nilai $x$ dalam domain. Julat sentiasa merupakan subset bagi kodomain. Fungsi boleh berbentuk diskret (titik-titik terpisah) atau selanjar (graf bersambung).

Imej dan Objek Suatu Fungsi

Jika objek $x$ diberi dan digantikan ke dalam fungsi $f$, imej $f(x)$ yang sepadan boleh ditentukan secara terus dengan penggantian. Jika imej $f(x)$ diberi, objek $x$ boleh ditentukan dengan menyelesaikan persamaan $f(x) = $ nilai imej tersebut.

$f(x) = y$

Fungsi Gubahan (Composite Function)

Fungsi gubahan $fg(x)$ (dibaca "$f$ gubahan $g$ bagi $x$") diperoleh dengan menggantikan fungsi $g$ ke dalam fungsi $f$, iaitu fungsi $g$ dilakukan dahulu, kemudian hasilnya digunakan sebagai input kepada $f$. Secara amnya, $fg(x) \neq gf(x)$ kerana $gf(x) = g[f(x)]$ pula bermaksud fungsi $f$ dilakukan dahulu sebelum $g$.

$$fg(x) = f[g(x)]$$

Fungsi Berulang

$f^2(x)$ bermaksud $ff(x)$, iaitu fungsi $f$ digunakan dua kali secara berturutan (bukan $[f(x)]^2$). Begitu juga $f^n(x)$ ialah fungsi $f$ digunakan sebanyak $n$ kali. Pola bagi fungsi berulang boleh dikenal pasti untuk menentukan $f^n(x)$ bagi sebarang nilai $n$ tanpa mengira secara berturutan satu demi satu.

$$f^2(x) = f[f(x)], \quad f^n(x) = f[f^{n-1}(x)]$$

Mencari Fungsi Komponen daripada Fungsi Gubahan

Apabila fungsi gubahan dan salah satu fungsi komponen diberi, fungsi yang satu lagi boleh ditentukan. Jika $fg(x)$ dan $f(x)$ diberi, selesaikan $f[g(x)] = fg(x)$ untuk $g(x)$. Jika $gf(x)$ dan $f(x)$ diberi, gunakan penggantian $y = f(x)$, ungkapkan $x$ dalam sebutan $y$, kemudian gantikan ke dalam $gf(x)$ untuk memperoleh $g(y)$, seterusnya tukar $y$ kepada $x$.

Fungsi Songsang dan Syarat Kewujudannya

Fungsi songsang $f^{-1}$ ialah songsangan bagi fungsi $f$, yang memetakan setiap unsur dalam kodomain kembali kepada satu unsur dalam domain. Suatu fungsi $f$ **mempunyai fungsi songsang jika dan hanya jika $f$ ialah fungsi satu dengan satu**. Kewujudan fungsi songsang boleh disahkan menggunakan ujian garis mengufuk: jika garis mengufuk memotong graf $f$ pada hanya satu titik, $f$ mempunyai fungsi songsang.

$f: x \to y \Leftrightarrow f^{-1}: y \to x$

Perkaitan Graf f dan f⁻¹

Graf $f^{-1}$ ialah pantulan (refleksi) bagi graf $f$ pada garis $y = x$. Jika titik $(a, b)$ berada pada graf $f$, maka titik $(b, a)$ berada pada graf $f^{-1}$. Domain bagi $f^{-1}$ adalah sama dengan julat bagi $f$, dan julat bagi $f^{-1}$ adalah sama dengan domain bagi $f$.

$y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)$

Menentukan Rumus Fungsi Songsang secara Algebra

Untuk mencari $f^{-1}(x)$ secara algebra: (1) Susun semula persamaan $y = f(x)$ untuk menjadikan $x$ sebagai perkara rumus dalam sebutan $y$; (2) Tulis $x = f^{-1}(y)$; (3) Gantikan pemboleh ubah $y$ dengan $x$ untuk memperoleh $f^{-1}(x)$. Kebenaran jawapan boleh disahkan menggunakan hubungan $ff^{-1}(x) = f^{-1}f(x) = x$.

$$y = f(x) \to x = f(y) \to f^{-1}(y) = x \to f^{-1}(x)$$

Contoh soalan

Dua fungsi ditakrifkan oleh $f: x \to 2x + 1$ dan $g: x \to x - 3$. Cari (a) fungsi gubahan $fg(x)$, (b) fungsi songsang $(fg)^{-1}(x)$, dan (c) tunjukkan bahawa $(fg)^{-1}(x) = g^{-1}f^{-1}(x)$.

• (a) Cari fg(x) = f[g(x)] dengan menggantikan g(x) = x - 3 ke dalam f: fg(x) = f(x - 3) = 2(x - 3) + 1 = 2x - 6 + 1 = 2x - 5. Maka, fg : x -> 2x - 5.
• (b) Cari (fg)^-1(x): katakan y = 2x - 5, maka 2x = y + 5, jadi x = (y + 5)/2. Oleh sebab x = (fg)^-1(y), gantikan y dengan x: (fg)^-1(x) = (x + 5)/2.
• (c) Cari f^-1(x) dahulu: katakan y = 2x + 1, maka x = (y - 1)/2, jadi f^-1(x) = (x - 1)/2.
• Cari g^-1(x): katakan y = x - 3, maka x = y + 3, jadi g^-1(x) = x + 3.
• Kira g^-1 f^-1(x) = g^-1[(x - 1)/2] = (x - 1)/2 + 3 = (x - 1 + 6)/2 = (x + 5)/2.
• Oleh sebab g^-1 f^-1(x) = (x + 5)/2 adalah sama dengan (fg)^-1(x) yang diperoleh di bahagian (b), maka terbukti (fg)^-1(x) = g^-1 f^-1(x).

fg(x) = 2x - 5, (fg)^-1(x) = (x + 5)/2, dan (fg)^-1(x) = g^-1f^-1(x) terbukti benar