Kinematik Gerakan Linear — Nota JomSkor

Sesaran, s sebagai fungsi masa

Sesaran ialah jarak antara suatu zarah dengan satu titik tetap $O$ yang diukur dalam arah tertentu. Ia ialah kuantiti vektor, jadi nilainya boleh positif, sifar atau negatif. Jika gerakan ke kanan diambil sebagai positif: $s > 0$ bermaksud zarah di sebelah kanan $O$, $s = 0$ bermaksud zarah berada di $O$, dan $s < 0$ bermaksud zarah di sebelah kiri $O$. Jarak pula ialah kuantiti skalar yang merujuk kepada jumlah panjang laluan sebenar yang dilalui, dan nilainya sentiasa positif.

$s = f(t)$

Halaju, v sebagai fungsi masa

Halaju ialah kadar perubahan sesaran terhadap masa dan merupakan kuantiti vektor, manakala laju ialah kadar perubahan jarak terhadap masa (kuantiti skalar). Halaju seketika pada masa $t$ boleh ditentukan dengan mencari kecerunan tangen kepada graf sesaran-masa pada ketika itu, atau dengan membezakan fungsi sesaran. Jika gerakan ke kanan positif: $v > 0$ bermaksud zarah bergerak ke kanan, $v = 0$ bermaksud zarah dalam keadaan rehat (pegun) seketika, dan $v < 0$ bermaksud zarah bergerak ke kiri.

$v = \frac{ds}{dt}$

Pecutan, a sebagai fungsi masa

Pecutan ialah kadar perubahan halaju terhadap masa dan merupakan kuantiti vektor. Pecutan seketika pada masa $t$ ialah kecerunan tangen kepada graf halaju-masa pada ketika itu. Jika gerakan ke kanan positif: $a > 0$ bermaksud halaju zarah menokok (bertambah) terhadap masa, $a = 0$ bermaksud halaju zarah adalah maksimum atau minimum, dan $a < 0$ bermaksud halaju zarah menyusut terhadap masa (nyahpecutan). Jika pecutan sama pada sebarang ketika, zarah bergerak dengan pecutan malar (seragam).

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$

Hubung kait antara fungsi sesaran, halaju dan pecutan (pembezaan)

Diberi fungsi sesaran $s = f(t)$, fungsi halaju diperoleh dengan membezakan $s$ terhadap $t$ sekali, dan fungsi pecutan diperoleh dengan membezakan $v$ terhadap $t$ (atau membezakan $s$ dua kali). Halaju seketika pada sebarang masa diperoleh dengan menggantikan nilai $t$ ke dalam fungsi halaju $v = \frac{ds}{dt}$, manakala pecutan seketika diperoleh dengan menggantikan nilai $t$ ke dalam fungsi pecutan $a = \frac{dv}{dt}$.

$s = f(t) \xrightarrow{\text{bezakan}} v = \frac{ds}{dt} = g(t) \xrightarrow{\text{bezakan}} a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} = h(t)$

Rehat seketika dan sesaran maksimum/minimum

Zarah dikatakan berhenti atau berehat seketika apabila halaju seketikanya sifar, iaitu $v = \frac{ds}{dt} = 0$. Pada ketika ini, sesaran zarah adalah maksimum atau minimum. Julat masa apabila zarah bergerak ke kanan diperoleh dengan menyelesaikan $v > 0$, manakala julat masa zarah bergerak ke kiri diperoleh dengan menyelesaikan $v < 0$.

$v = 0$

Halaju maksimum/minimum dan nyahpecutan

Halaju zarah adalah maksimum atau minimum apabila pecutan seketikanya sifar, iaitu $a = \frac{dv}{dt} = 0$. Untuk menentukan sama ada ia maksimum atau minimum, uji tanda $\frac{d^2v}{dt^2}$: jika $\frac{d^2v}{dt^2} > 0$, halaju adalah minimum; jika $\frac{d^2v}{dt^2} < 0$, halaju adalah maksimum. Apabila halaju zarah berkurang (menyusut), pecutan menjadi negatif dan zarah dikatakan mengalami nyahpecutan (a < 0). Pecutan sifar tidak semestinya bermaksud halaju juga sifar.

$a = 0$

Pengamiran: daripada pecutan kepada halaju

Jika fungsi pecutan $a = h(t)$ diberi, fungsi halaju $v$ diperoleh dengan mengamirkan $a$ terhadap masa $t$. Pemalar pengamiran $c$ ditentukan menggunakan syarat awal yang diberi (contohnya halaju awal zarah pada $t = 0$, atau halaju pada sebarang masa lain yang diketahui).

$v = \int a \, dt$

Pengamiran: daripada halaju kepada sesaran

Jika fungsi halaju $v = g(t)$ diberi, fungsi sesaran $s$ diperoleh dengan mengamirkan $v$ terhadap masa $t$. Jika hanya fungsi pecutan $a$ diberi, pengamiran perlu dilakukan dua kali berturut-turut: $v = \int a\,dt$ kemudian $s = \int v\,dt$, dengan setiap pengamiran memerlukan syarat awal yang berasingan untuk menentukan pemalar $c$.

$s = \int v \, dt$

Jumlah jarak yang dilalui dalam suatu tempoh masa

Jumlah jarak yang dilalui oleh zarah tidak sama dengan sesaran (melainkan zarah bergerak dalam satu arah sahaja sepanjang tempoh tersebut). Untuk mencari jumlah jarak, kenal pasti dahulu ketika zarah berhenti seketika (v = 0) yang menandakan zarah bertukar arah, kemudian jumlahkan magnitud setiap segmen jarak antara kedudukan-kedudukan tersebut menggunakan garis nombor atau graf sesaran-masa. Jarak yang dilalui dalam saat ke-$n$ pula ialah $|s_n - s_{n-1}|$, iaitu magnitud beza sesaran antara $t = (n-1)$ dengan $t = n$.

Aplikasi kinematik gerakan linear

Konsep pembezaan dan pengamiran dalam kinematik boleh diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah gerakan sebenar seperti larian atlet, kenderaan, atau objek yang dilancarkan, dengan mengenal pasti fungsi yang diberi (sesaran, halaju atau pecutan) dan menggunakan pembezaan atau pengamiran yang sesuai untuk mencari kuantiti yang ditanya, termasuk masa apabila pecutan sifar atau jarak yang dilalui menggunakan kamiran tentu (luas di bawah graf halaju-masa).

$v = \frac{ds}{dt},\ a = \frac{dv}{dt},\ v = \int a\,dt,\ s = \int v\,dt$

Contoh soalan

Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap $O$ dengan halaju awal $4$ ms$^{-1}$. Pecutan, $a$ ms$^{-2}$, zarah itu pada masa $t$ saat selepas melalui $O$ diberi oleh $a = 4 - 2t$. Hitung (a) halaju seketika, dalam ms$^{-1}$, zarah itu apabila $t = 7$, (b) halaju maksimum, dalam ms$^{-1}$, zarah itu, (c) nilai-nilai $t$, dalam saat, apabila halaju seketika zarah itu ialah $7$ ms$^{-1}$.

• Diberi fungsi pecutan $a = 4 - 2t$. Untuk mendapatkan fungsi halaju, amirkan $a$ terhadap $t$: $v = \int (4 - 2t)\, dt = 4t - t^2 + c$.
• Gunakan syarat awal untuk cari $c$: apabila $t = 0$, $v = 4$, maka $4 = 4(0) - (0)^2 + c$, jadi $c = 4$. Fungsi halaju ialah $v = 4t - t^2 + 4$.
• (a) Apabila $t = 7$: $v = 4(7) - (7)^2 + 4 = 28 - 49 + 4 = -17$. Maka halaju seketika zarah apabila $t = 7$ ialah $-17$ ms$^{-1}$.
• (b) Halaju maksimum berlaku apabila $\frac{dv}{dt} = a = 0$: $4 - 2t = 0$, jadi $t = 2$. Oleh sebab $\frac{d^2v}{dt^2} = -2 < 0$, $v$ adalah maksimum apabila $t = 2$.
• Gantikan $t = 2$ ke dalam fungsi halaju: $v = 4(2) - (2)^2 + 4 = 8 - 4 + 4 = 8$. Maka halaju maksimum zarah ialah $8$ ms$^{-1}$.
• (c) Apabila $v = 7$: $4t - t^2 + 4 = 7$, iaitu $t^2 - 4t + 3 = 0$, jadi $(t-1)(t-3) = 0$, memberikan $t = 1$ atau $t = 3$.

(a) $-17$ ms$^{-1}$, (b) $8$ ms$^{-1}$, (c) $t = 1$ saat atau $t = 3$ saat