Fungsi Trigonometri — Nota JomSkor

Sudut Positif dan Sudut Negatif

Sudut positif diukur mengikut arah lawan jam dari paksi-$x$ positif manakala sudut negatif diukur mengikut arah jam dari paksi-$x$ positif. Satu putaran lengkap ialah $360^\circ$ atau $2\pi$ rad. Jika $\theta > 360^\circ$, kedudukan sudut ditentukan dengan menolak gandaan $360^\circ$ atau $2\pi$ rad untuk mendapatkan sudut sepadan dalam julat $0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$ atau $0 \leq \theta \leq 2\pi$ rad.

Enam Nisbah Trigonometri

Kosekan, sekan dan kotangen ialah salingan kepada sinus, kosinus dan tangen: $\text{kosek}\,\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, $\sek\,\theta = \dfrac{1}{\kos\theta}$, $\kot\,\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$. Nilai kosekan, sekan dan kotangen dikira menggunakan salingan nisbah asas kerana kalkulator tidak mempunyai kekunci terus untuk ketiga-tiganya.

$\sin\theta = \dfrac{sisi bertentangan}{hipotenus}$, $\kos\theta = \dfrac{sisi bersebelahan}{hipotenus}$, $\tan\theta = \dfrac{sisi bertentangan}{sisi bersebelahan}$

Rumus Sudut Pelengkap

Dua sudut $A$ dan $B$ dikatakan sudut pelengkap jika $A + B = 90^\circ$, iaitu $A = 90^\circ - B$ dan $B = 90^\circ - A$. Rumus ini membolehkan nisbah trigonometri satu sudut dinyatakan semula dalam sebutan nisbah sudut pelengkapnya.

$\sin\theta = \kos(90^\circ - \theta)$, $\kos\theta = \sin(90^\circ - \theta)$, $\tan\theta = \kot(90^\circ - \theta)$, $\sek\theta = \text{kosek}(90^\circ - \theta)$, $\text{kosek}\,\theta = \sek(90^\circ - \theta)$, $\kot\theta = \tan(90^\circ - \theta)$

Sudut Rujukan dan Bulatan Unit

Sudut rujukan, $\alpha$, ialah sudut tirus yang dibuat oleh garis $OP$ dengan paksi-$x$ dalam satah Cartes. Bagi $0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$: Sukuan I, $\alpha = \theta$; Sukuan II, $\alpha = 180^\circ - \theta$; Sukuan III, $\alpha = \theta - 180^\circ$; Sukuan IV, $\alpha = 360^\circ - \theta$. Nilai nisbah trigonometri bagi sebarang sudut boleh diperoleh daripada nisbah sudut rujukan yang sepadan menggunakan bulatan unit, di mana koordinat titik pada bulatan ialah $(\kos\theta, \sin\theta)$.

Tanda Nisbah Trigonometri mengikut Sukuan (ASTC)

Tanda nisbah trigonometri bergantung pada sukuan kedudukan sudut: Sukuan I semua positif; Sukuan II hanya sinus dan kosekan positif; Sukuan III hanya tangen dan kotangen positif; Sukuan IV hanya kosinus dan sekan positif. Ini boleh diingati sebagai "Semua, Sinus, Tangen, Kosinus" (ASTC) mengikut arah lawan jam bermula Sukuan I.

Nisbah Trigonometri Sudut Khas

Sudut khas $30^\circ$, $45^\circ$ dan $60^\circ$ diperoleh daripada segi tiga bersudut tegak khas (segi empat sama dibahagi dua untuk $45^\circ$, dan segi tiga sama sisi dibahagi dua untuk $30^\circ$ dan $60^\circ$). Nilai-nilai ini digunakan tanpa kalkulator untuk mencari nisbah trigonometri sudut lain melalui sudut rujukan.

$\sin30^\circ=\dfrac{1}{2}, \kos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \tan30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$; $\sin45^\circ=\kos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \tan45^\circ=1$; $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \kos60^\circ=\dfrac{1}{2}, \tan60^\circ=\sqrt{3}$

Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen

Graf $y=\sin x$ dan $y=\kos x$ berbentuk sinusoidal dengan amplitud 1 dan kala $360^\circ$ atau $2\pi$ rad. Graf $y=\tan x$ tidak mempunyai nilai maksimum/minimum, berkala $180^\circ$ atau $\pi$ rad, dan mempunyai asimptot pada $x=90^\circ$ dan $x=270^\circ$. Bagi $y=a\sin bx+c$: pemalar $a$ menentukan amplitud $|a|$, pemalar $b$ menentukan bilangan kitaran dalam julat tertentu dengan kala $=\dfrac{360^\circ}{b}$ (atau $\dfrac{2\pi}{b}$), dan pemalar $c$ menentukan translasi menegak $\begin{pmatrix}0\\c\end{pmatrix}$.

$y = a\sin bx + c$, $y = a\kos bx + c$, $y = a\tan bx + c$

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri secara Grafik

Penyelesaian bagi persamaan trigonometri boleh ditentukan dengan melakar dua graf yang diperoleh daripada persamaan itu pada paksi yang sama. Bilangan titik persilangan kedua-dua graf memberikan bilangan penyelesaian, dan koordinat-$x$ titik persilangan tersebut ialah nilai penyelesaian bagi persamaan itu.

Identiti Asas (Identiti Pythagoras)

Identiti trigonometri ialah persamaan yang sah untuk sebarang nilai sudut. Ketiga-tiga identiti asas ini diterbitkan daripada teorem Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ dalam segi tiga bersudut tegak dengan membahagikan setiap belah persamaan dengan $a^2$, $b^2$ atau $c^2$. Identiti ini digunakan untuk membuktikan identiti trigonometri lain dan menyelesaikan masalah nisbah trigonometri.

$$\sin^2\theta + \kos^2\theta = 1$$ $$1 + \tan^2\theta = \sek^2\theta$$ $$1 + \kot^2\theta = \text{kosek}^2\theta$$

Rumus Sudut Majmuk

Sudut berbentuk $(A+B)$ atau $(A-B)$ dikenali sebagai sudut majmuk. Secara amnya $\sin(A+B) \neq \sin A + \sin B$. Rumus sudut majmuk membolehkan nisbah trigonometri sudut bukan khas (seperti $75^\circ$, $105^\circ$, $15^\circ$) dicari secara tepat dengan menguraikannya kepada jumlah atau beza dua sudut khas, dan digunakan untuk membuktikan pelbagai identiti trigonometri.

$$\sin(A \pm B) = \sin A \kos B \pm \kos A \sin B$$ $$\kos(A \pm B) = \kos A \kos B \mp \sin A \sin B$$ $$\tan(A \pm B) = \dfrac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$$

Rumus Sudut Berganda

Sudut berbentuk $2A$, $3A$ dan seterusnya dikenali sebagai sudut berganda. Rumus ini diterbitkan daripada rumus sudut majmuk dengan menggantikan $B$ dengan $A$. Terdapat tiga bentuk setara bagi $\kos 2A$ yang boleh dipilih bergantung kepada bentuk ungkapan yang ingin dipermudahkan (dalam sebutan $\sin A$ sahaja, $\kos A$ sahaja, atau kedua-duanya).

$$\sin 2A = 2\sin A \kos A$$ $$\kos 2A = \kos^2 A - \sin^2 A = 2\kos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$$ $$\tan 2A = \dfrac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$$

Rumus Sudut Separuh

Rumus sudut separuh diterbitkan secara aruhan daripada rumus $\kos A = 2\kos^2\dfrac{A}{2} - 1$ dan $\kos A = 1 - 2\sin^2\dfrac{A}{2}$, membolehkan $\sin\dfrac{A}{2}$, $\kos\dfrac{A}{2}$ dan $\tan\dfrac{A}{2}$ diungkapkan dalam sebutan $\sin A$ dan $\kos A$.

$$\sin\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\kos A}{2}}$$ $$\kos\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1+\kos A}{2}}$$ $$\tan\dfrac{A}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\kos A}{1+\kos A}}$$

Membuktikan Identiti Trigonometri

Untuk membuktikan identiti trigonometri, ringkaskan bahagian yang lebih kompleks (sebelah kiri atau kanan) dengan menukarkan kepada bentuk nisbah trigonometri asas ($\sin$, $\kos$, $\tan$) menggunakan identiti asas, rumus sudut majmuk atau sudut berganda, sehingga kedua-dua belah persamaan menjadi sama. Kaedah alternatif ialah meringkaskan kedua-dua belah kepada satu ungkapan yang serupa.

Menyelesaikan Persamaan Trigonometri

Langkah menyelesaikan persamaan trigonometri: (1) Permudahkan persamaan menggunakan identiti jika perlu; (2) Tentukan sudut rujukan menggunakan nilai nisbah trigonometri tanpa mengambil kira tanda; (3) Cari sudut dalam sukuan yang merujuk kepada tanda nisbah trigonometri dan julat yang diberi; (4) Tuliskan semua penyelesaian dalam julat tersebut. Jika julat sudut tidak dinyatakan, bilangan penyelesaian adalah tidak terhingga.

Aplikasi Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan masalah kehidupan harian seperti mencari tinggi bangunan daripada sudut dongak, kelajuan darat pesawat, dan reka bentuk hiasan. Penyelesaian biasanya melibatkan penubuhan persamaan trigonometri daripada situasi (contohnya menggunakan $\tan\theta$ dalam segi tiga bersudut tegak dan rumus sudut majmuk $\tan 3\theta = \tan(\theta + 2\theta)$) sebelum dipermudahkan untuk mencari pemboleh ubah yang dikehendaki.

Contoh soalan

Selesaikan persamaan $2\kos 2x - 13\sin x + 10 = 0$ bagi $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$.

• Gunakan identiti sudut berganda $\kos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ untuk menukar persamaan kepada sebutan $\sin x$ sahaja: $2(1 - 2\sin^2 x) - 13\sin x + 10 = 0$.
• Kembangkan: $2 - 4\sin^2 x - 13\sin x + 10 = 0$.
• Susun semula menjadi $4\sin^2 x + 13\sin x - 12 = 0$.
• Faktorkan persamaan kuadratik ini dalam sebutan $\sin x$: $(4\sin x - 3)(\sin x + 4) = 0$.
• Maka $\sin x = 0.75$ atau $\sin x = -4$. Nilai $\sin x = -4$ ditolak kerana $-1 \leq \sin x \leq 1$.
• Untuk $\sin x = 0.75$: sudut rujukan $\alpha = \sin^{-1}(0.75) = 48.59^\circ$.
• Oleh sebab $\sin x$ positif, $x$ terletak dalam Sukuan I dan Sukuan II bagi julat $0^\circ \leq x \leq 360^\circ$.
• Sukuan I: $x = \alpha = 48.59^\circ$. Sukuan II: $x = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 48.59^\circ = 131.41^\circ$.

$x = 48.59^\circ$ dan $x = 131.41^\circ$