Taburan Kebarangkalian — Nota JomSkor

Pemboleh Ubah Rawak

Pemboleh ubah rawak ialah suatu pemboleh ubah dengan nilai berangka yang ditentukan daripada suatu fenomena rawak. Ia diwakilkan dengan huruf besar seperti $X$, manakala nilai-nilai pemboleh ubah rawak itu diwakilkan dengan $r$, contohnya $X = \{0, 1, 2\}$.

Pemboleh Ubah Rawak Diskret dan Selanjar

Pemboleh ubah rawak diskret mempunyai bilangan nilai yang boleh dibilang dan sentiasa dalam bentuk sifar atau integer positif, contohnya $X = \{r : r = 0, 1, 2, 3\}$. Pemboleh ubah rawak selanjar pula bukan dalam bentuk integer dan nilainya berada dalam suatu selang tertentu, contohnya $Y = \{y : a \le y \le b\}$.

Taburan Kebarangkalian Pemboleh Ubah Rawak Diskret

Jika $X$ ialah pemboleh ubah rawak diskret dengan nilai $r_1, r_2, \ldots, r_n$ dan kebarangkalian masing-masing $P(X=r_1), \ldots, P(X=r_n)$, jumlah semua kebarangkalian mestilah sama dengan 1. Taburan ini boleh diwakilkan dengan gambar rajah pokok, jadual, atau graf $P(X=r)$ melawan $r$.

$$\sum_{i=1}^{n} P(X=r_i) = 1, \quad P(X=r_i) \ge 0$$

Eksperimen Binomial dan Percubaan Bernoulli

Percubaan Bernoulli hanya mempunyai dua kesudahan yang mungkin, iaitu 'kejayaan' dengan kebarangkalian $p$ dan 'kegagalan' dengan kebarangkalian $q = 1 - p$. Eksperimen binomial terdiri daripada $n$ percubaan Bernoulli yang serupa dan tidak bersandar antara satu sama lain (kebarangkalian kejayaan sentiasa sama pada setiap percubaan).

Formula Taburan Binomial

Ditulis sebagai $X \sim B(n, p)$. Pemboleh ubah rawak binomial $X$ mewakili bilangan kejayaan $r$ daripada $n$ percubaan Bernoulli yang serupa bagi suatu eksperimen binomial, dengan $p$ ialah kebarangkalian 'kejayaan' dan $q = 1 - p$ ialah kebarangkalian 'kegagalan'.

$$P(X=r) = {^{n}C_r}\,p^{r}q^{n-r}, \quad r = 0, 1, 2, \ldots, n$$

Min, Varians dan Sisihan Piawai Taburan Binomial

Bagi taburan binomial $X \sim B(n, p)$, min (nilai jangkaan) ialah hasil darab bilangan percubaan $n$ dengan kebarangkalian kejayaan $p$. Varians ialah $npq$ dan sisihan piawai ialah punca kuasa dua varians.

$$\mu = np, \qquad \sigma^2 = npq, \qquad \sigma = \sqrt{npq}$$

Ciri-ciri Graf Taburan Normal

Taburan normal ialah satu fungsi kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak selanjar yang bersimetri, berbentuk loceng, dengan min = median = mod pada paksi simetri $X = \mu$. Taburan normal digunakan sebagai penghampiran kepada taburan binomial apabila sampel $n$ besar, iaitu apabila $np \ge 10$ dan $n(1-p) \ge 10$. Ditulis sebagai $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, dan jumlah luas di bawah graf ialah $P(-\infty < X < \infty) = 1$ unit persegi.

Taburan Normal Piawai dan Skor-Z

Taburan normal piawai mempunyai min 0 dan sisihan piawai 1. Sebarang pemboleh ubah rawak selanjar $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ boleh dipiawaikan kepada skor-$Z$ (pemboleh ubah rawak normal piawai) menggunakan formula ini bagi membolehkan penggunaan sifir taburan normal piawai.

$$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}, \quad Z \sim N(0,1)$$

Peratusan Taburan Data mengikut Sisihan Piawai

Secara amnya, 68% daripada data berada dalam lingkungan sisihan piawai $\pm1$ daripada min, 95% dalam lingkungan $\pm2$ sisihan piawai, dan 99.7% dalam lingkungan $\pm3$ sisihan piawai daripada min. Ciri ini membantu menganggarkan serakan data bagi taburan normal.

Menentukan Kebarangkalian menggunakan Sifir Taburan Normal Piawai

Kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak selanjar $X$ antara $a$ dan $b$ ditukar kepada skor-$Z$ dan dicari menggunakan sifir taburan normal piawai, dengan mengambil kira sifat simetri graf iaitu $P(Z>0) = 0.5$ dan $P(Z>a) = P(Z<-a)$.

$$P(a<X<b) = P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma} < Z < \frac{b-\mu}{\sigma}\right)$$

Hukum Bilangan Besar

Hukum bilangan besar menyatakan bahawa semakin besar saiz suatu sampel, semakin kecil variasi rawak dan nilai min percubaan (min kumulatif) semakin menghampiri nilai min teori bagi suatu populasi.

Menyelesaikan Masalah Binomial dan Normal dalam Konteks Sebenar

Formula binomial dan normal digunakan untuk menyelesaikan masalah kehidupan sebenar seperti kawalan kualiti produk, kesihatan dan pendidikan, termasuk mencari bilangan minimum sampel yang perlu dipantau, nilai $n$ atau $p$ yang tidak diketahui, atau nilai sempadan $m$ daripada suatu kebarangkalian yang diberikan, dengan menggunakan strategi memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat refleksi.

Contoh soalan

Sebuah kedai kek menghasilkan sejenis kek coklat. Didapati bahawa 12% daripada kek coklat itu berjisim kurang daripada 1 kg. Cari bilangan minimum kek coklat yang perlu dipantau supaya kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya sebiji kek coklat berjisim kurang daripada 1 kg yang dipilih secara rawak adalah lebih besar daripada 0.85.

• Katakan $X$ mewakili bilangan kek coklat yang berjisim kurang daripada 1 kg, dengan $X \sim B(n, p)$, iaitu $p = 0.12$ dan $q = 0.88$.
• Syarat yang diberi ialah $P(X \ge 1) > 0.85$.
• Gunakan sifat pelengkap: $1 - P(X=0) > 0.85$, iaitu $P(X=0) < 0.15$.
• Substitusikan formula binomial: ${^{n}C_0}(0.12)^0(0.88)^n < 0.15$, iaitu $(0.88)^n < 0.15$.
• Ambil log kedua-dua belah persamaan: $n \log 0.88 < \log 0.15$.
• Oleh kerana $\log 0.88$ bernilai negatif, tanda ketaksamaan bertukar apabila kedua-dua belah dibahagi dengannya: $n > \dfrac{\log 0.15}{\log 0.88} = 14.84$.
• Oleh kerana $n$ mestilah integer, bilangan minimum ialah integer terkecil yang lebih besar daripada 14.84.

n = 15 (bilangan minimum kek coklat yang perlu dipantau)