Pilih Atur dan Gabungan — Nota JomSkor

Petua Pendaraban

Jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam $m$ cara dan suatu peristiwa kedua boleh berlaku dalam $n$ cara, maka kedua-dua peristiwa itu boleh berlaku serentak dalam $m \times n$ cara. Petua ini boleh diperluaskan kepada lebih daripada dua peristiwa berturutan, contohnya memilih jenis roti, jenis kuah dan jenis minuman secara berasingan lalu mendarabkan bilangan pilihan bagi setiap peristiwa.

$m \times n$

Faktorial dan Pilih Atur Linear bagi n Objek Berbeza

Bilangan cara menyusun $n$ objek berbeza secara linear (dalam satu baris) diberikan oleh $n!$, iaitu $^nP_n$. Sebagai contoh, empat huruf berbeza T, U, A, H boleh disusun dalam $4! = 24$ cara kerana kotak pertama mempunyai 4 pilihan, kotak kedua 3 pilihan, dan seterusnya. Secara takrif, $0! = 1$.

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1$

Pilih Atur bagi n Objek Diambil r pada Satu Masa

Apabila hanya $r$ objek dipilih dan disusun daripada $n$ objek berbeza (bukan kesemua $n$ objek), bilangan pilih atur yang mungkin ialah $^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$. Contohnya, memilih dan menyusun 3 huruf daripada 7 huruf perkataan BERTUAH memberikan $^7P_3 = \dfrac{7!}{(7-3)!} = 210$ cara.

$^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$, dengan keadaan $r \leq n$

Pilih Atur Membulat (Bulatan)

Apabila $n$ objek disusun dalam bentuk bulatan, setiap $n$ susunan linear yang sama apabila diputarkan dianggap sebagai satu susunan sahaja. Maka bilangan pilih atur membulat ialah $(n-1)!$. Jika susunan bulatan itu boleh dibaca mengikut arah jam atau lawan arah jam tanpa perbezaan (seperti gelang atau kalungan), bilangan cara dibahagi 2 lagi, iaitu $\dfrac{(n-1)!}{2}$.

$P = \dfrac{n!}{n} = (n-1)!$; dan bagi $r$ objek daripada $n$ objek: $P = \dfrac{^nP_r}{r}$

Pilih Atur bagi Objek Secaman (Berulang)

Apabila sebahagian objek adalah sama (secaman), bilangan susunan sebenar adalah lebih sedikit kerana pertukaran objek secaman antara satu sama lain tidak menghasilkan susunan baharu. Oleh itu, jumlah susunan $n!$ perlu dibahagikan dengan faktorial bilangan bagi setiap set objek secaman. Contohnya, perkataan SIMBIOSIS mempunyai $n = 9$ huruf dengan huruf S dan I berulang 3 kali setiap satu, jadi bilangan susunan ialah $\dfrac{9!}{3! \, 3!} = 10\,080$.

$P = \dfrac{n!}{a! \, b! \, c! \ldots}$, dengan $a, b, c, \ldots$ ialah bilangan objek bagi setiap jenis objek secaman

Pilih Atur dengan Syarat Tertentu

Masalah pilih atur sering melibatkan syarat tambahan seperti objek tertentu mesti berada bersebelahan (dikelompokkan sebagai satu unit, kemudian didarab dengan bilangan cara susunan dalam kelompok itu), objek berselang-seli, atau digit tertentu di kedudukan tertentu (seperti nombor genap/ganjil, nombor dalam julat tertentu). Strategi biasa ialah mengisi kotak-kotak bagi kedudukan bersyarat dahulu, kemudian mendarabkan bilangan pilihan bagi kedudukan lain menggunakan petua pendaraban.

Gabungan bagi n Objek Diambil r pada Satu Masa

Gabungan ialah pemilihan $r$ objek daripada $n$ objek berbeza tanpa mengambil kira susunan atau tertib (berbeza daripada pilih atur, di mana tertib adalah penting). $^nC_r$ juga dikenali sebagai pekali binomial dan boleh ditulis sebagai $\binom{n}{r}$. Nilai $^nC_0 = 1$ dan $^nC_1 = n$ untuk sebarang integer positif $n$.

$^nC_r = \dfrac{^nP_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

Perbezaan antara Pilih Atur dan Gabungan

Pilih atur digunakan apabila tertib atau kedudukan objek adalah penting, contohnya melantik ketua kelas dan penolong ketua kelas (dua jawatan berbeza) daripada 5 murid. Gabungan digunakan apabila tertib tidak penting, contohnya memilih 2 murid daripada 5 murid untuk menyertai satu pertandingan (kedudukan tidak dibezakan). Mengenal pasti sama ada sesuatu masalah melibatkan tertib atau tidak adalah langkah pertama sebelum memilih formula yang sesuai.

Gabungan dengan Syarat Tertentu

Masalah gabungan dengan syarat (contohnya sekurang-kurangnya seorang daripada kumpulan tertentu, atau pembahagian kepada beberapa kumpulan bersaiz berbeza) diselesaikan dengan memecahkan masalah kepada beberapa kes berasingan, mengira gabungan bagi setiap kes menggunakan petua pendaraban antara kumpulan, dan kemudian menjumlahkan (petua penambahan) hasil bagi kes-kes yang saling eksklusif jika perlu.

Contoh soalan

Satu pasukan bola sepak terdiri daripada 17 orang pemain tempatan dan 3 orang pemain import. Seorang jurulatih perlu memilih 11 orang pemain utama untuk bertanding dalam satu perlawanan dengan mengambil tepat dua orang pemain import. Seterusnya, jika 3 daripada 11 pemain yang terpilih itu perlu dilantik sebagai penjaring pertama, kedua dan ketiga (jawatan berlainan), cari bilangan cara jawatan tersebut dapat diagihkan.

• Langkah 1: Kenal pasti bahawa memilih pemain (tanpa mengira jawatan) ialah gabungan, manakala melantik jawatan berlainan ialah pilih atur.
• Langkah 2: Cara memilih 2 pemain import daripada 3 pemain import ialah $^3C_2 = \dfrac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.
• Langkah 3: Cara memilih 9 pemain tempatan daripada 17 pemain tempatan ialah $^{17}C_9 = \dfrac{17!}{9!(17-9)!} = 24\,310$.
• Langkah 4: Dengan petua pendaraban, bilangan cara memilih 11 pemain utama ialah $^3C_2 \times \, ^{17}C_9 = 3 \times 24\,310 = 72\,930$.
• Langkah 5: Untuk melantik 3 jawatan berlainan (penjaring pertama, kedua, ketiga) daripada 11 pemain terpilih, gunakan pilih atur kerana tertib jawatan penting: $^{11}P_3 = \dfrac{11!}{(11-3)!} = 990$.
• Langkah 6: Jumlah keseluruhan cara ialah $72\,930 \times 990 = 72\,200\,700$.

Bilangan cara memilih 11 pemain utama (dengan tepat 2 pemain import) ialah 72 930 cara; bilangan cara melantik 3 jawatan berlainan daripada 11 pemain itu ialah 990 cara (jumlah keseluruhan cara memilih pasukan dan kemudian melantik jawatan ialah 72 930 × 990 = 72 200 700 cara).