Pengamiran — Nota JomSkor

Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan

Pengamiran ialah proses songsangan bagi pembezaan, diwakilkan dengan tatatanda $\int \ldots dx$. Jika pembezaan bagi $f(x)$ ialah $f'(x)$, maka secara songsangan, kamiran bagi $f'(x)$ terhadap $x$ ialah $f(x)$. Fungsi $f(x)$ dikenali sebagai anti terbitan bagi $f'(x)$. Simbol kamiran $\int$ diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675, diadaptasi daripada huruf $\int$ atau s panjang.

$\text{Jika } \dfrac{d}{dx}[f(x)] = f'(x), \text{ maka } \int f'(x)\,dx = f(x)$

Pemalar Pengamiran, c

Apabila mengamirkan suatu fungsi, hasilnya sentiasa melibatkan penambahan pemalar $c$ yang dikenali sebagai pemalar pengamiran, kerana pembezaan bagi sebarang pemalar adalah sifar. Ini bermakna pelbagai fungsi seperti $5x$, $5x+2$ dan $5x-3$ semuanya mempunyai $\dfrac{dy}{dx} = 5$, jadi $\int 5\,dx = 5x + c$ mewakili keluarga fungsi ini.

$\int a\,dx = ax + c$

Kamiran Tak Tentu bagi Pemalar dan Fungsi $ax^n$

Bagi suatu pemalar $a$, kamiran tak tentunya ialah $ax + c$. Bagi fungsi $ax^n$ dengan $a$ dan $c$ ialah pemalar serta $n$ ialah integer dan $n \neq -1$, langkah mengamirkan ialah: tambahkan indeks bagi $x$ dengan 1, bahagikan sebutan dengan indeks baharu, kemudian tambahkan pemalar $c$ dengan hasil kamiran.

$\int a\,dx = ax + c$; \quad $\int ax^n\,dx = \dfrac{ax^{n+1}}{n+1} + c, \ n \neq -1$

Kamiran Hasil Tambah atau Beza (Petua Penambahan/Penolakan)

Kamiran bagi suatu fungsi yang melibatkan penambahan atau penolakan sebutan-sebutan algebra boleh dicari dengan mengamirkan setiap sebutan secara berasingan, kemudian menjumlahkan atau menolak hasilnya. Hanya satu pemalar pengamiran sahaja diperlukan untuk keseluruhan hasil kamiran.

$\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

Kamiran Tak Tentu bagi Fungsi $(ax+b)^n$ (Kaedah Penggantian)

Bagi fungsi seperti $(2x+1)^8$ yang sukar dikembangkan, kaedah penggantian digunakan. Katakan $u = ax+b$, maka $\dfrac{du}{dx} = a$ dan $dx = \dfrac{du}{a}$. Dengan menggantikan $u$ dan menggunakan petua rantai $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}$, diperoleh $\int (ax+b)^n\,dx = \dfrac{1}{a}\int u^n\,du = \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c$.

$\int (ax+b)^n\,dx = \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c, \ n \neq -1$

Persamaan Lengkung daripada Fungsi Kecerunan

Fungsi kecerunan $\dfrac{dy}{dx}$ bagi suatu lengkung boleh ditentukan dengan membezakan persamaan lengkung. Sebaliknya, persamaan lengkung $y = f(x)$ boleh diperoleh daripada mengamirkan fungsi kecerunannya. Nilai pemalar pengamiran $c$ ditentukan dengan menggantikan koordinat titik $(x, y)$ yang dilalui oleh lengkung tersebut ke dalam hasil kamiran.

$\text{Jika } \dfrac{dy}{dx} = f'(x), \text{ maka } y = \int f'(x)\,dx$

Nilai Kamiran Tentu bagi Fungsi Algebra

Kamiran tentu bagi suatu fungsi $f(x)$ terhadap $x$ antara nilai batasan $x = a$ dengan $x = b$ ialah suatu nilai berangka, bukan lagi fungsi seperti kamiran tak tentu. Ia dikira dengan mencari kamiran tak tentu $g(x) + c$, kemudian menilai pada had atas $b$ ditolak had bawah $a$; pemalar $c$ akan saling batal.

$\int_a^b f(x)\,dx = [g(x) + c]_a^b = g(b) - g(a)$

Sifat-sifat Kamiran Tentu

Sifat-sifat ini membolehkan kamiran tentu dimanipulasikan tanpa perlu mengamirkan semula fungsi asal. Contohnya, menukar had atas dan bawah akan menukar tanda hasil kamiran, manakala kamiran boleh dipecahkan mengikut selang yang bersambungan.

$\int_a^a f(x)\,dx = 0; \quad \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx; \quad \int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx; \quad \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx, \ a<b<c; \quad \int_a^b [f(x)\pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$

Luas Rantau di Bawah Lengkung dan Paksi-x atau Paksi-y

Luas rantau di bawah lengkung diperoleh daripada had bagi hasil tambah luas segi empat tepat nipis apabila bilangan segi empat tepat itu menghampiri infiniti (dan lebar $\delta x \to 0$). Jika rantau berada di bawah paksi-$x$ atau di sebelah kiri paksi-$y$, nilai kamiran adalah negatif, tetapi luas sentiasa positif — tanda negatif diabaikan (nilai mutlak diambil).

$L = \int_a^b y\,dx$ (rantau dengan paksi-$x$); \quad $L = \int_a^b x\,dy$ (rantau dengan paksi-$y$)

Luas Rantau antara Lengkung dengan Garis Lurus atau antara Dua Lengkung

Luas rantau berlorek antara dua lengkung, atau antara lengkung dan garis lurus, dikira dengan menolak luas di bawah fungsi bawah daripada luas di bawah fungsi atas, dalam selang $x = a$ hingga $x = b$ (titik persilangan). Titik persilangan dicari dengan menyamakan kedua-dua persamaan.

$\text{Luas} = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$, dengan $f(x)$ ialah fungsi atas dan $g(x)$ ialah fungsi bawah

Isi Padu Janaan pada Paksi-x

Apabila suatu rantau di bawah lengkung $y = f(x)$ dikisarkan sepenuhnya melalui $360°$ pada paksi-$x$, bongkah kisaran yang terjana boleh dibahagikan kepada $n$ silinder mencancang nipis dengan lebar $\delta x$. Isi padu setiap silinder ialah $\pi y_i^2 \delta x$; apabila $n \to \infty$ dan $\delta x \to 0$, hasil tambah ini menjadi $\int_a^b \pi y^2\,dx$. Nilai isi padu janaan sentiasa positif.

$I = \int_a^b \pi y^2\,dx$

Isi Padu Janaan pada Paksi-y

Apabila suatu rantau di bawah lengkung $x = g(y)$ dikisarkan sepenuhnya melalui $360°$ pada paksi-$y$, kaedah yang serupa digunakan tetapi bongkah dibahagikan kepada $n$ silinder mengufuk dengan tinggi $\delta y$, menghasilkan $I = \int_a^b \pi x^2\,dy$ apabila $\delta y \to 0$.

$I = \int_a^b \pi x^2\,dy$

Contoh soalan

Rajah menunjukkan lengkung $y = \dfrac{1}{4}x^2$ bersilang dengan garis lurus $y = x$ pada titik $O$ dan $A$. (a) Cari koordinat bagi titik $A$. (b) Cari isi padu janaan, dalam sebutan $\pi$, apabila rantau berlorek antara lengkung dan garis lurus itu dikisarkan sepenuhnya pada paksi-$x$.

• Cari titik persilangan: samakan $\dfrac{1}{4}x^2 = x$, iaitu $x^2 = 4x$, jadi $x^2 - 4x = 0$, $x(x-4) = 0$, maka $x = 0$ atau $x = 4$.
• Gantikan $x = 4$ ke dalam $y = x$: $y = 4$. Maka koordinat titik $A$ ialah $(4, 4)$.
• Katakan $I_1$ ialah isi padu janaan bagi garis lurus $y = x$ dan $I_2$ ialah isi padu janaan bagi lengkung $y = \dfrac{1}{4}x^2$, kedua-duanya dari $x = 0$ hingga $x = 4$.
• Kira $I_1 = \int_0^4 \pi (x)^2\,dx = \pi\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^4 = \pi\left[\dfrac{4^3}{3} - \dfrac{0^3}{3}\right] = \dfrac{64}{3}\pi$ unit$^3$.
• Kira $I_2 = \int_0^4 \pi\left(\dfrac{1}{4}x^2\right)^2 dx = \int_0^4 \pi \cdot \dfrac{1}{16}x^4\,dx = \pi\left[\dfrac{x^5}{16(5)}\right]_0^4 = \pi\left[\dfrac{4^5}{80} - \dfrac{0^5}{80}\right] = \dfrac{64}{5}\pi$ unit$^3$.
• Isi padu janaan = $I_1 - I_2 = \dfrac{64}{3}\pi - \dfrac{64}{5}\pi = 8\dfrac{8}{15}\pi$ unit$^3$.

Koordinat titik $A$ ialah $(4, 4)$; isi padu janaan ialah $8\dfrac{8}{15}\pi$ unit$^3$.