Pembezaan — Nota JomSkor

Had suatu fungsi

Had ialah nilai yang dihampiri oleh $f(x)$ apabila $x$ menghampiri $a$ (dengan $x \neq a$). Jika penggantian langsung $x = a$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, had perlu ditentukan dengan pemfaktoran (hapuskan faktor sepunya) atau merasionalkan pengangka/penyebut menggunakan konjugat sebelum penggantian langsung dilakukan.

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

Kecerunan tangen sebagai had

Kecerunan tangen kepada lengkung $y = f(x)$ pada suatu titik ialah had bagi kecerunan garis lurus yang menyambungkan dua titik berhampiran pada lengkung itu apabila $\delta x \to 0$. Proses ini disebut pembezaan dengan prinsip pertama dan menghasilkan terbitan pertama, $\frac{dy}{dx}$ atau $f'(x)$, yang juga dikenali sebagai fungsi kecerunan.

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{f(x+\delta x) - f(x)}{\delta x}$

Petua kuasa (rumus terbitan pertama bagi $y = ax^n$)

Bagi fungsi $y = ax^n$ dengan $a$ ialah pemalar dan $n$ ialah integer, terbitan pertamanya diperoleh dengan mendarab kuasa asal dengan pemalar $a$ kemudian menolak satu daripada kuasa itu. Kes khas: jika $n = 1$, $\frac{dy}{dx} = a$; jika $n = 0$ (pemalar), $\frac{dy}{dx} = 0$. Rumus ini juga terpakai untuk kuasa pecahan dan negatif (contoh: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$).

$\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}$

Petua penambahan/penolakan

Terbitan bagi jumlah atau beza beberapa sebutan algebra boleh diperoleh dengan membezakan setiap sebutan secara berasingan, kemudian menambah atau menolak hasilnya.

$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = \frac{d}{dx}[f(x)] \pm \frac{d}{dx}[g(x)]$

Petua rantai (fungsi gubahan)

Digunakan untuk membezakan fungsi gubahan dalam bentuk $y = (ax+b)^n$ atau fungsi kompleks lain yang sukar dikembangkan. Katakan $u$ sebagai sebutan dalam kurungan (atau bahagian dalam punca/pecahan), ungkapkan $y$ sebagai fungsi bagi $u$, kemudian darabkan $\frac{dy}{du}$ dengan $\frac{du}{dx}$. Rumus pantas: jika $y = u^n$, maka $\frac{dy}{dx} = nu^{n-1}\frac{du}{dx}$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$

Petua hasil darab

Digunakan untuk membezakan fungsi yang berbentuk hasil darab dua ungkapan algebra $u$ dan $v$ (kedua-duanya fungsi bagi $x$) yang tidak boleh atau sukar dikembangkan. Cari $\frac{du}{dx}$ dan $\frac{dv}{dx}$ dahulu, kemudian gantikan ke dalam rumus.

$\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$

Petua hasil bahagi

Digunakan untuk membezakan fungsi yang berbentuk hasil bahagi dua ungkapan algebra $u$ dan $v$. Cari $\frac{du}{dx}$ dan $\frac{dv}{dx}$ dahulu, kemudian gantikan ke dalam rumus dan permudahkan.

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$, dengan $v(x) \neq 0$

Terbitan kedua

Terbitan kedua diperoleh dengan membezakan terbitan pertama, $\frac{dy}{dx}$, sekali lagi terhadap $x$. Ia digunakan bersama kaedah lakaran tangen atau secara langsung untuk menentukan sama ada satu titik pusingan ialah titik maksimum atau titik minimum.

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ atau $f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]$

Persamaan tangen dan normal

Tangen kepada lengkung $y=f(x)$ pada titik $P(a, f(a))$ mempunyai kecerunan $f'(a)$. Normal ialah garis lurus berserenjang dengan tangen pada titik yang sama, dengan kecerunan $-\dfrac{1}{f'(a)}$ (menggunakan hubungan $m_1 m_2 = -1$).

Tangen: $y - f(a) = f'(a)(x-a)$; Normal: $y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)$

Titik pegun dan sifatnya (titik pusingan / titik lengkok balas)

Titik pegun ialah titik pada lengkung dengan tangen mengufuk. Terdapat tiga jenis: titik maksimum (kecerunan berubah + ke -), titik minimum (kecerunan berubah - ke +), dan titik lengkok balas (kecerunan tidak berubah tanda). Titik maksimum dan minimum digelar titik pusingan; titik lengkok balas bukan titik pusingan.

Titik pegun: $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Maksimum jika $\dfrac{d^2y}{dx^2} < 0$; Minimum jika $\dfrac{d^2y}{dx^2} > 0$; Jika $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 0$, gunakan kaedah lakaran tangen (uji tanda $\dfrac{dy}{dx}$ di sekitar titik itu)

Kadar perubahan berkaitan (petua rantai untuk masa)

Digunakan apabila dua pemboleh ubah $x$ dan $y$ berkaitan melalui persamaan $y = f(x)$ dan kedua-duanya berubah dengan masa $t$. Kadar perubahan $y$ terhadap masa boleh dicari daripada kadar perubahan $x$ terhadap masa dengan mendarabkan $\dfrac{dy}{dx}$ dengan $\dfrac{dx}{dt}$. Nilai positif menunjukkan kuantiti itu menokok; nilai negatif menunjukkan ia menyusut.

$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \times \dfrac{dx}{dt}$

Perubahan kecil, penghampiran dan peratus perubahan

Bagi perubahan kecil $\delta x$ dalam $x$, perubahan sepadan $\delta y$ dalam $y$ boleh dianggarkan menggunakan kecerunan tangen $\dfrac{dy}{dx}$ tanpa mengira nilai $f(x+\delta x)$ secara terus. Ini juga digunakan untuk mencari nilai hampir (contoh: $\sqrt{4.02}$) dan peratus perubahan dalam suatu kuantiti.

$\delta y \approx \dfrac{dy}{dx} \times \delta x$; $f(x+\delta x) \approx f(x) + \dfrac{dy}{dx}\delta x$; Peratus perubahan dalam $y = \dfrac{\delta y}{y} \times 100\%$

Contoh soalan

Sebuah kilang ingin menghasilkan tin makanan berbentuk silinder yang diperbuat daripada kepingan aluminium dengan isi padu 512 cm3. Bahagian atas dan bawah tin dibentuk daripada dua keping aluminium segi empat sama manakala permukaan melengkung digulung daripada sekeping aluminium segi empat tepat. Cari jejari tapak tin itu, dalam cm, supaya jumlah luas permukaan semua kepingan aluminium yang digunakan adalah minimum.

• Katakan j cm ialah jejari tapak dan t cm ialah tinggi tin. Isi padu tin, I = πj²t = 512, maka t = 512/(πj²).
• Jumlah luas permukaan kepingan aluminium (dua segi empat sama bersisi 2j membalut bulatan atas dan bawah, ditambah satu segi empat tepat 2πj by t membalut sisi): L = 2(2j)² + 2πjt = 8j² + 2πjt.
• Gantikan t = 512/(πj²) ke dalam L: L = 8j² + 2πj(512/(πj²)) = 8j² + 1024/j.
• Bezakan L terhadap j: dL/dj = 16j - 1024/j².
• Untuk nilai minimum, dL/dj = 0: 16j - 1024/j² = 0, maka 16j³ = 1024, j³ = 64, j = 4.
• Uji dengan terbitan kedua: d²L/dj² = 16 + 2048/j³. Apabila j = 4, d²L/dj² = 16 + 2048/64 = 48 > 0, maka L adalah minimum di j = 4.
• Jadi, jejari tapak tin ialah 4 cm supaya jumlah luas permukaan kepingan aluminium yang digunakan adalah minimum.

Jejari tapak tin, j = 4 cm (dengan tinggi t ≈ 10.186 cm)