Sukatan Membulat — Nota JomSkor

Takrifan Satu Radian

Satu radian ialah ukuran sudut yang tercangkum di pusat sebuah bulatan oleh lengkok yang sama panjang dengan jejari bulatan itu. Ia adalah unit sukatan sudut yang lebih sesuai berbanding darjah dalam banyak cabang matematik, terutamanya sukatan membulat.

$1 \text{ rad} = \angle AOB$ apabila panjang lengkok $AB$ = jejari $j$

Perkaitan Radian dan Darjah

Untuk menukar darjah kepada radian, darabkan dengan $\frac{\pi}{180^\circ}$. Untuk menukar radian kepada darjah, darabkan dengan $\frac{180^\circ}{\pi}$. Apabila $\pi = 3.142$, maka $1 \text{ rad} \approx 57.29^\circ$ dan $1^\circ \approx 0.01746 \text{ rad}$.

$2\pi \text{ rad} = 360^\circ$, iaitu $\pi \text{ rad} = 180^\circ$

Sudut-sudut Khusus dalam Radian

Sudut-sudut khusus ini kerap digunakan dalam soalan SPM dan patut dihafal untuk mempercepatkan pengiraan tanpa perlu menukar setiap kali menggunakan kalkulator.

$30^\circ = \frac{\pi}{6}, 45^\circ = \frac{\pi}{4}, 60^\circ = \frac{\pi}{3}, 90^\circ = \frac{\pi}{2}, 180^\circ = \pi, 360^\circ = 2\pi$

Rumus Panjang Lengkok

Panjang lengkok $s$ bagi sebuah bulatan berjejari $j$ unit dengan sudut $\theta$ radian yang tercangkum di pusat bulatan diberikan oleh $s = j\theta$. Rumus ini diterbitkan daripada nisbah $\frac{s}{\theta} = \frac{\text{lilitan bulatan}}{2\pi} = \frac{2\pi j}{2\pi} = j$. Sudut $\theta$ MESTI dalam radian, bukan darjah, apabila menggunakan rumus ini secara terus.

$$s = j\theta$$

Rumus Luas Sektor

Luas sektor $L$ bagi sebuah bulatan berjejari $j$ unit dengan sudut $\theta$ radian yang tercangkum di pusat bulatan diberikan oleh $L = \frac{1}{2}j^2\theta$. Rumus ini diterbitkan daripada nisbah $\frac{L}{\theta} = \frac{\text{luas bulatan}}{2\pi} = \frac{\pi j^2}{2\pi}$. Oleh sebab $s = j\theta$, rumus ini juga boleh ditulis sebagai $L = \frac{1}{2}js$.

$$L = \frac{1}{2}j^2\theta$$

Perimeter Tembereng Suatu Bulatan

Tembereng ialah kawasan di antara lengkok dan perentas (chord) yang menyambung dua hujung lengkok itu. Perimeter tembereng ialah hasil tambah panjang lengkok, $s = j\theta$, dengan panjang perentas $AC$, yang boleh dicari menggunakan petua kosinus ($AC^2 = j^2 + j^2 - 2j^2\cos\theta$) dalam segi tiga yang dibentuk oleh dua jejari dan perentas itu.

Perimeter tembereng $= s + AC$

Luas Tembereng Suatu Bulatan

Luas tembereng dicari dengan menolak luas segi tiga $AOB$ (menggunakan $\frac{1}{2}j^2\sin\theta$ atau rumus Heron) daripada luas sektor $L = \frac{1}{2}j^2\theta$ yang dibentuk oleh dua jejari dan lengkok yang sama.

Luas tembereng $= L - \text{Luas } \triangle AOB$

Sektor Major dan Sudut Refleks

Apabila soalan melibatkan sektor major atau lengkok major, sudut yang digunakan dalam rumus $s = j\theta$ atau $L = \frac{1}{2}j^2\theta$ ialah sudut refleks, iaitu $2\pi$ tolak sudut minor (dalam radian), atau $360^\circ$ tolak sudut minor (dalam darjah) sebelum ditukar ke radian.

$\theta_{\text{major}} = 2\pi - \theta_{\text{minor}}$

Aplikasi Sukatan Membulat dalam Bentuk Gabungan

Banyak masalah kehidupan harian (seperti kawasan lontaran, kipas kertas, tingkap separuh bulatan, keratan rentas terowong) melibatkan gabungan dua atau lebih sektor/tembereng. Strategi penyelesaian: kenal pasti setiap sektor/tembereng yang terlibat, tukar semua sudut kepada radian, kira panjang lengkok dan/atau luas setiap bahagian secara berasingan, kemudian tambah atau tolak bahagian-bahagian itu mengikut keperluan soalan.

Contoh soalan

Rajah menunjukkan tembereng major $ABC$ yang mewakili keratan rentas bagi sebuah terowong kereta api dengan pusat $O$ dan jejari $4$ m, dengan keadaan $\angle AOC = 1.8$ rad. [Guna $\pi = 3.142$] (a) Tunjukkan bahawa $AC$ ialah $6.266$ m. (b) Cari panjang lengkok major $ABC$, dalam m. (c) Cari luas keratan rentas terowong itu, dalam $\text{m}^2$.

• (a) Gunakan petua kosinus dalam $\triangle AOC$ dengan $OA = OC = 4$ m dan $\angle AOC = 1.8$ rad. Tukar $1.8$ rad kepada darjah: $1.8 \times \frac{180^\circ}{3.142} = 103^\circ 7'$.
• $AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2(OA)(OC)\cos\angle AOC = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4)\cos 103^\circ 7' = 39.2619$, maka $AC = \sqrt{39.2619} = 6.266$ m (terbukti).
• (b) Cari sudut refleks $AOC$ (sudut bagi lengkok major): $2\pi - 1.8 = 6.284 - 1.8 = 4.484$ rad.
• Panjang lengkok major $ABC = j\theta = 4 \times 4.484 = 17.94$ m.
• (c) Luas $\triangle AOC = \frac{1}{2} \times OA \times OC \times \sin\angle AOC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \sin 103^\circ 7' = 7.791\ \text{m}^2$.
• Luas sektor major $ABC = \frac{1}{2}j^2\theta = \frac{1}{2} \times 4^2 \times 4.484 = 35.87\ \text{m}^2$.
• Luas keratan rentas terowong = luas $\triangle AOC$ + luas sektor major $ABC = 7.791 + 35.87 = 43.66\ \text{m}^2$.

(a) $AC = 6.266$ m (terbukti); (b) Panjang lengkok major $ABC = 17.94$ m; (c) Luas keratan rentas terowong $= 43.66\ \text{m}^2$