Lokus dalam Dua Dimensi — Nota JomSkor

Bab ini mengkaji konsep lokus (surihan atau lintasan satu set titik yang memenuhi syarat-syarat tertentu) dalam situasi kehidupan sebenar dan dalam bentuk tiga dimensi (cth bulatan, silinder, sfera apabila bentuk dua dimensi diputarkan mengelilingi satu paksi). Seterusnya bab ini memerihalkan lima jenis lokus dua dimensi asas: lokus titik berjarak tetap dari satu titik tetap (bulatan), lokus titik berjarak sama dari dua titik tetap (pembahagi dua sama serenjang), lokus titik berjarak tetap dari satu garis lurus (sepasang garis lurus selari), lokus titik berjarak sama dari dua garis lurus selari (satu garis lurus selari melalui titik tengah), dan lokus titik berjarak sama dari dua garis lurus bersilang (pembahagi dua sama sudut). Bab ini juga merangkumi penentuan lokus yang memenuhi dua atau lebih syarat serentak (persilangan dua lokus) serta penyelesaian masalah sebenar yang melibatkan lokus.

Matematik · Tingkatan 3

Maksud Lokus

Lokus terhasil daripada pergerakan satu titik mengikut syarat yang ditetapkan, cth pelekat warna pada tayar basikal yang berputar menghasilkan lokus berbentuk bulatan, atau hujung roket yang dilancarkan menghasilkan lokus berbentuk garis lurus. Bentuk lokus dua dimensi boleh dilihat dalam bentuk garis lurus, lengkok atau lengkung.

Lokus = surihan/lintasan satu set titik dalam satu satah atau ruang tiga dimensi yang memenuhi syarat-syarat tertentu

Lokus Tiga Dimensi daripada Putaran Bentuk Dua Dimensi

Apabila satu bentuk dua dimensi (cth papan segi empat tepat PQRS atau papan semi bulatan PQR) disambung pada satu tiang dan diputarkan 360° mengelilingi tiang itu, lokus yang terhasil ialah satu bentuk tiga dimensi. Sisi segi empat tepat yang diputar mengelilingi tiang menghasilkan silinder tegak; papan semi bulatan yang diputar mengelilingi tiang menghasilkan sfera.

Segi empat tepat diputarkan 360° mengelilingi paksi -> silinder tegak; semi bulatan diputarkan 360° mengelilingi paksi -> sfera

Lokus Titik Berjarak Tetap daripada Satu Titik Tetap

Lokus bagi suatu titik yang sentiasa berjarak tetap (cth r) daripada satu titik tetap O ialah sebuah bulatan berpusat di O dengan jejari r. Dibina dengan jangka lukis: tandakan titik tetap, ukur bukaan jangka lukis mengikut jarak tetap, lukis bulatan berpusat pada titik tetap itu.

Lokus = bulatan berpusat di titik tetap, jejari = jarak tetap

Lokus Titik Berjarak Sama daripada Dua Titik Tetap

Lokus bagi suatu titik yang sentiasa berjarak SAMA daripada dua titik tetap (cth P dan Q) ialah pembahagi dua sama serenjang (perpendicular bisector) bagi garis lurus PQ — satu garis lurus yang berserenjang dengan PQ dan melalui titik tengah PQ. Dibina dengan jangka lukis: lukis dua lengkok bersilang (bukaan lebih separuh PQ) dari P dan dari Q, kemudian sambungkan kedua-dua titik persilangan lengkok itu dengan garis lurus.

Lokus = pembahagi dua sama serenjang bagi garis yang menyambungkan dua titik tetap itu

Lokus Titik Berjarak Tetap daripada Satu Garis Lurus

Lokus bagi suatu titik yang sentiasa berjarak tetap (cth d) daripada satu garis lurus MN ialah SEPASANG garis lurus yang selari dengan MN, masing-masing berjarak d daripada MN (satu di setiap belah garis MN).

Lokus = sepasang garis lurus yang selari dengan garis lurus itu, pada jarak tetap di kedua-dua belah

Lokus Titik Berjarak Sama daripada Dua Garis Lurus Selari

Lokus bagi suatu titik yang sentiasa berjarak SAMA daripada dua garis lurus selari (cth PQ dan MN) ialah satu garis lurus tunggal yang selari dengan PQ dan MN, terletak tepat di tengah-tengah antara kedua-dua garis selari itu (melalui titik tengah jarak antara PQ dan MN).

Lokus = satu garis lurus yang selari dengan kedua-dua garis itu dan melalui titik tengah pasangan garis selari tersebut

Lokus Titik Berjarak Sama daripada Dua Garis Lurus Bersilang

Lokus titik yang mempunyai jarak serenjang sama daripada dua garis lurus yang bersilang terdiri daripada kedua-dua garis pembahagi dua sudut. Kedua-dua pembahagi dua sudut itu melalui titik persilangan dan saling berserenjang. Jarak kepada setiap garis diukur sepanjang garis serenjang, bukan sepanjang garis condong atau kepada titik persilangan sahaja. Jika kedua-dua garis asal berserenjang, empat sudut persilangannya sama; jika tidak, hanya pasangan sudut bertentang bucu sama.

Lokus = kedua-dua garis pembahagi dua sudut bagi dua garis lurus yang bersilang

Lokus yang Memenuhi Dua atau Lebih Syarat (Persilangan Lokus)

Apabila satu titik perlu memenuhi DUA syarat serentak (cth berjarak 7 unit dari titik A, DAN berjarak sama dari dua garis lurus), lukis lokus bagi syarat pertama dan lokus bagi syarat kedua secara berasingan pada rajah yang sama. Kedudukan yang memenuhi KEDUA-DUA syarat ialah titik persilangan antara dua lokus itu, ditandakan dengan simbol •.

Lokus gabungan = lukis setiap lokus berasingan pada rajah yang sama, kemudian kenal pasti titik persilangan

Contoh soalan

Satu titik C dilukis pada hujung satu sayap kipas yang sedang berputar. Terangkan bentuk lokus bagi titik C.

Titik C bergerak pada jarak yang tetap dari pusat putaran kipas (hujung tengah sayap).
Lokus bagi titik C ialah sebuah bulatan berpusat pada pusat putaran kipas.

Contoh soalan

Sekeping papan berbentuk segi empat tepat PQRS disambung pada sebatang tiang MN dengan keadaan boleh digerakkan. Jika sisi PQ diputarkan 360° mengelilingi tiang MN, nyatakan bentuk tiga dimensi yang terhasil.

Sisi PQ adalah selari dengan tiang MN dan diputarkan sepenuhnya (360°) mengelilingi tiang itu.
Bentuk tiga dimensi yang terhasil ialah silinder tegak.

Contoh soalan

Bina lokus bagi titik P yang sentiasa berjarak 3 cm daripada satu titik tetap O, dan terangkan jenis lokus yang terhasil.

Langkah 1: Tandakan titik tetap O.
Langkah 2: Ukur bukaan jangka lukis sepanjang 3 cm.
Langkah 3: Dengan O sebagai pusat, lukis sebuah bulatan berjejari 3 cm.
Lokus bagi titik P ialah sebuah bulatan berpusat di O dengan jejari 3 cm, kerana P sentiasa berjarak tetap (3 cm) daripada titik tetap O.

Contoh soalan

Segi tiga sama sisi PQR diberikan. Tentukan dan terangkan lokus bagi titik X yang berjarak sama daripada titik P dan titik R.

Titik X berjarak sama daripada dua titik tetap P dan R.
Lokus bagi titik X ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus PR — satu garis lurus yang berserenjang dengan PR dan melalui titik tengah PR.
Oleh sebab PQR ialah segi tiga sama sisi, lokus X (pembahagi dua sama serenjang PR) akan melalui bucu Q kerana Q juga berjarak sama daripada P dan R (PQ = QR).

Contoh soalan

Segi empat sama ABCD dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit dengan AB = 6 unit. Huraikan lokus bagi titik X yang berjarak sama daripada garis AB dan garis DC.

Garis AB dan garis DC ialah dua sisi bertentangan segi empat sama ABCD, maka AB selari dengan DC dan jarak antara AB dengan DC ialah 6 unit (sama dengan sisi segi empat sama itu).
Lokus bagi titik X yang berjarak sama daripada AB dan DC ialah satu garis lurus yang selari dengan AB dan DC.
Oleh sebab jarak AB ke DC ialah 6 unit, lokus X terletak tepat di tengah, iaitu pada jarak 3 unit daripada AB dan 3 unit daripada DC.
Lokus X juga melalui titik tengah sisi AD dan titik tengah sisi BC.

Contoh soalan

Segi empat sama ABCD dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit, dengan A di titik asal. Titik X bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa 5 unit daripada A, dan titik Y bergerak dengan keadaan jaraknya sentiasa sama daripada garis AB dan garis AD. Huraikan lokus X, lokus Y, dan kedudukan titik persilangan antara kedua-dua lokus itu.

Lokus bagi titik X (berjarak tetap 5 unit daripada titik tetap A) ialah sebahagian lengkok bulatan berpusat di A dengan jejari 5 unit, di dalam sempadan segi empat sama ABCD.
Lokus bagi titik Y (berjarak sama daripada dua garis bersilang AB dan AD, yang bersilang berserenjang di bucu A) ialah pembahagi dua sama sudut bagi sudut DAB, iaitu garis pepenjuru yang bermula dari A dan membahagi sudut 90° itu kepada dua sudut 45°.
Oleh sebab pembahagi dua sama sudut itu ialah garis lurus dari A dengan kecerunan tetap (45° daripada AB), dan lokus X ialah lengkok bulatan berjejari 5 unit berpusat di A, kedua-dua lokus bersilang pada SATU titik sahaja — iaitu titik pada pepenjuru segi empat sama yang berjarak 5 unit daripada A.
Titik persilangan ini ditandakan dengan simbol • pada rajah, mewakili kedudukan yang memenuhi KEDUA-DUA syarat serentak.

Mengelirukan lokus titik berjarak TETAP daripada satu titik (bulatan) dengan lokus titik berjarak SAMA daripada dua titik (pembahagi dua sama serenjang) — kedua-dua jenis ini berbeza sama sekali dalam bentuk lokus yang terhasil.
Lupa bahawa lokus titik berjarak tetap daripada SATU garis lurus terdiri daripada SEPASANG garis lurus selari (satu di setiap belah), bukan hanya satu garis — pelajar sering hanya melukis satu garis sahaja.
Tersilap melukis pembahagi dua sama serenjang tanpa melalui titik tengah garis yang menyambungkan dua titik tetap itu — pembahagi dua sama serenjang MESTI melalui titik tengah, bukan sebarang titik pada garis itu.
Tersilap mengenal pasti lokus bagi dua garis lurus BERSILANG sebagai garis selari (sepatutnya pembahagi dua sama sudut) — ini hanya betul untuk dua garis SELARI, bukan garis yang bersilang.
Tidak menandakan SEMUA titik persilangan yang mungkin apabila dua lokus bertemu pada lebih daripada satu titik (cth lokus bulatan dengan lokus garis lurus boleh bersilang pada dua titik) — pelajar sering hanya menandakan satu titik persilangan sahaja.
Lupa bahawa sisi bertentangan dan sisi bersebelahan bagi lokus tiga dimensi bergantung pada paksi putaran — segi empat tepat yang diputar mengelilingi paksi menghasilkan silinder, manakala semi bulatan yang diputar menghasilkan sfera; pelajar kerap mengelirukan kedua-dua bentuk ini.
Tidak menggunakan jangka lukis dan pembaris dengan tepat semasa membina lokus pada lukisan berskala, menyebabkan lokus yang dilukis tidak sepadan dengan jarak/sudut sebenar yang dikehendaki soalan.

Sentiasa kenal pasti dahulu JENIS syarat yang diberi dalam soalan (jarak tetap dari satu titik, jarak sama dari dua titik, jarak tetap dari satu garis, jarak sama dari dua garis selari, atau jarak sama dari dua garis bersilang) sebelum melukis sebarang lokus.
Hafal kelima-lima jenis lokus asas dan bentuk yang terhasil: titik tetap -> bulatan; dua titik (sama jarak) -> pembahagi dua sama serenjang; satu garis (jarak tetap) -> sepasang garis selari; dua garis selari (sama jarak) -> satu garis selari di tengah; dua garis bersilang (sama jarak) -> pembahagi dua sama sudut.
Untuk soalan yang melibatkan dua atau lebih syarat serentak, lukis setiap lokus secara berasingan dengan warna/garis berlainan pada rajah yang sama, supaya titik persilangan lebih mudah dikenal pasti dan ditandakan dengan simbol •.
Gunakan jangka lukis dan pembaris dengan tepat semasa membina lokus secara praktikal — bukaan jangka lukis hendaklah lebih daripada separuh panjang garis apabila membina pembahagi dua sama serenjang, supaya dua lengkok dapat bersilang dengan jelas.
Dalam soalan penyelesaian masalah sebenar (cth kedudukan klinik, kotak harta karun), kenal pasti dahulu SEMUA syarat yang dinyatakan dalam soalan, bina setiap lokus berasingan mengikut skala yang diberi, kemudian tentukan kedudukan yang memenuhi kesemua syarat itu serentak.
Apabila soalan meminta huraian (bukan lukisan), nyatakan jenis lokus DAN perihalkan kedudukannya secara lengkap (cth pembahagi dua sama serenjang bagi garis AB — bukan sekadar garis lurus).
Untuk bentuk tiga dimensi hasil putaran, semak sama ada bentuk dua dimensi yang diputar itu segi empat tepat (-> silinder), semi bulatan (-> sfera), atau segi tiga bersudut tegak (-> kon) sebelum menjawab.

Lokus
Berjarak sama
Berjarak tetap
Bulatan
Lengkok
Lengkung
Pembahagi dua sama serenjang
Pembahagi dua sama sudut
Garis lurus selari
Sudut dongak
Titik tetap
Silinder tegak
Sfera
Persilangan lokus