Pelan dan Dongakan — Nota JomSkor

Satah

Satah ialah permukaan rata pada suatu objek. Terdapat tiga jenis satah: satah mengufuk (mendatar, seperti tapak objek), satah mencancang (tegak, berserenjang dengan satah mengufuk) dan satah condong (tidak mengufuk dan tidak mencancang).

Satah mengufuk, satah mencancang, satah condong

Normal kepada Satah

Normal kepada suatu satah ialah garis lurus yang berserenjang atau bersudut tegak dengan sebarang garis pada satah tersebut. Susunan huruf semasa menyatakan normal adalah penting — cth TS bermaksud garis TS berserenjang dengan satah pada titik S.

Normal = garis lurus yang berserenjang (bersudut tegak) dengan satah

Unjuran Ortogon

Unjuran ortogon ialah imej yang terbentuk pada suatu satah apabila unjuran garis dari setiap bucu objek dilukis berserenjang (sebagai normal) dengan satah tersebut, kemudian titik persilangan disambungkan. Jika garis unjuran TIDAK berserenjang dengan satah, unjuran yang terhasil BUKAN unjuran ortogon.

Unjuran ortogon = imej yang terbentuk pada satah apabila garis unjuran dari objek berserenjang (normal) dengan satah itu

Langkah Melukis Unjuran Ortogon

Untuk melukis unjuran ortogon: (i) kenal pasti jenis satah (mengufuk/mencancang) dan arah objek diunjurkan; (ii) lukis garis normal yang lurus dan tegak daripada semua bucu objek kepada satah supaya panjang sisi unjuran sama dengan panjang sisi objek; (iii) sambungkan titik-titik persilangan normal dengan satah; (iv) lukis semula unjuran ortogon dengan ukuran sebenar dan labelkan semua bucu serta panjang sisi.

1. Kenal pasti jenis satah dan arah pandangan 2. Lukis normal dari semua bucu ke satah 3. Sambungkan titik persilangan 4. Lukis semula dengan ukuran sebenar

Perbandingan Objek dengan Unjuran Ortogon

Sisi dan sudut pada permukaan objek yang SELARI dengan satah unjuran (iaitu permukaan yang dipandang terus, berserenjang dengan arah pandangan) akan kekal SAMA panjang/saiz pada unjuran ortogon. Sebaliknya, sisi yang TIDAK selari dengan satah unjuran (cth sisi condong/senget dilihat dari sisi) akan berubah panjang pada unjuran ortogon.

Panjang sisi dan saiz sudut pada unjuran ortogon berbeza mengikut arah pandangan

Pelan

Pelan ialah unjuran ortogon suatu objek pada satah mengufuk sebagaimana dilihat dari arah pandangan atas (arah Z). Semua sisi pada pelan biasanya dilukis dengan garis padu kerana semuanya dapat dilihat terus dari pandangan atas.

Pelan = unjuran ortogon pada satah mengufuk, dilihat dari pandangan ATAS

Dongakan Depan dan Dongakan Sisi

Dongakan depan ialah unjuran ortogon pada satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah pandangan depan (arah X). Dongakan sisi ialah unjuran ortogon pada satah mencancang sebagaimana dilihat dari arah pandangan sisi (arah Y, dari kiri atau kanan).

Dongakan = unjuran ortogon pada satah mencancang, dilihat dari pandangan DEPAN atau SISI

Garis Padu dan Garis Sempang

Dalam lukisan pelan dan dongakan: garis padu TEBAL digunakan untuk sisi objek yang dapat dilihat terus daripada arah pandangan tersebut; garis SEMPANG (putus-putus) digunakan untuk sisi yang TERLINDUNG (tidak dapat dilihat terus) daripada arah pandangan itu; garis padu HALUS digunakan sebagai garis binaan/unjuran (panduan) semasa melukis dan tidak dikira sebagai sisi objek.

Garis padu (tebal) = sisi yang nampak; Garis sempang (putus-putus) = sisi yang terlindung; Garis padu halus = garis binaan/unjuran

Susunan Empat Sukuan (Kaedah 1 dan Kaedah 2)

Lukisan pelan, dongakan depan dan dongakan sisi digabungkan pada sehelai kertas yang dibahagikan kepada empat sukuan oleh garis mencancang dan mengufuk, dengan garis pembantu 45° di antara sukuan kedua dan keempat. Pelan SENTIASA dilukis pada sukuan keempat, dan dongakan depan SENTIASA di atas pelan (sukuan pertama). Jika dongakan sisi dilihat dari kanan ke kiri (Kaedah 1), ia dilukis di sukuan kedua (sebelah kiri dongakan depan); jika dilihat dari kiri ke kanan (Kaedah 2), ia dilukis di sukuan ketiga (sebelah kanan dongakan depan).

Pelan di sukuan keempat; Dongakan depan di sukuan pertama (atas pelan); Dongakan sisi di sukuan kedua (Kaedah 1) atau ketiga (Kaedah 2)

Langkah Melukis Pelan dan Dongakan pada Empat Sukuan

Langkah sistematik: (i) tentukan arah pandangan sisi (dari kiri atau kanan) untuk memilih kedudukan dongakan sisi (sukuan kedua atau ketiga); (ii) lukiskan pelan dengan skala penuh pada sukuan keempat; (iii) unjurkan sisi pelan secara mencancang (garis padu halus sebagai panduan) ke sukuan pertama untuk melukis dongakan depan; (iv) unjurkan sisi dongakan depan secara mengufuk dan sisi pelan melalui garis 45° untuk melukis dongakan sisi.

1. Tentukan kedudukan dongakan sisi 2. Lukis pelan di sukuan keempat 3. Unjurkan ke atas untuk dongakan depan 4. Unjurkan untuk dongakan sisi

Mensintesis Pelan dan Dongakan untuk Melakar Objek 3D

Untuk melakar bentuk tiga dimensi daripada pelan, dongakan depan dan dongakan sisi yang diberi: (i) lakarkan ketiga-tiga unjuran ortogon pada satah berkaitan menggunakan ukuran sebenar; (ii) unjurkan permukaan-permukaan (yang sepadan antara ketiga-tiga pandangan) supaya bertemu membentuk bucu objek gabungan; (iii) lakarkan bentuk objek 3D dan labelkan bucu mengikut huruf dalam unjuran asal; (iv) lengkapkan lakaran dengan melabelkan semua panjang sisi yang diketahui.

1. Lakar tiga unjuran pada satah berkaitan 2. Unjurkan permukaan supaya bertemu 3. Lakar objek dan labelkan bucu 4. Labelkan panjang sisi

Menyelesaikan Masalah Melibatkan Pelan dan Dongakan

Soalan penyelesaian masalah biasanya menggabungkan pelan/dongakan dengan pengiraan panjang sisi condong (menggunakan Teorem Pythagoras) dan pengiraan isi padu pepejal gabungan atau pepejal yang dikeluarkan daripada sebuah kuboid/pepejal asal. Nisbah isi padu juga sering ditanya, dipermudahkan ke bentuk nisbah terendah.

Gunakan Teorem Pythagoras untuk sisi condong; Isi padu pepejal dikeluarkan = Isi padu kuboid asal − Isi padu pepejal yang tinggal

Contoh soalan

Rajah menunjukkan sebuah kubus PQRSTUVW dengan PQRS sebagai tapak mengufuk dan TUVW sebagai satah atas, dengan T di atas P, U di atas Q, V di atas R dan W di atas S. Nyatakan normal kepada satah PQRS.

• Normal kepada satah PQRS ialah garis tegak yang menyambung setiap bucu tapak ke bucu sepadan di satah atas.
• Maka, normal kepada satah PQRS ialah TP, UQ, VR, WS.

Contoh soalan

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak segi empat tepat ABCD terletak pada suatu satah mengufuk. Sisi-sisi AF dan BG adalah tegak, dan permukaan ABGF adalah satah mencancang. Terangkan bagaimana unjuran ortogon objek ini pada satah mengufuk (dilihat dari arah atas, Z) dilukis, dan nyatakan jenis garis yang digunakan untuk sisi tepi atas (FG/EH) yang berada di atas tapak.

• Langkah 1: Lukis garis normal (tegak, berserenjang) daripada setiap bucu objek (A, B, C, D, F, G, dan bucu atas yang lain) terus ke bawah ke satah mengufuk.
• Langkah 2: Sambungkan titik persilangan normal pada satah mengufuk untuk membentuk garis besar unjuran (bentuk tapak ABCD).
• Langkah 3: Lukis semula unjuran dengan ukuran sebenar dan labelkan setiap bucu mengikut bucu objek yang bertindih (cth A/F jika F berada terus di atas A).
• Oleh sebab semua bucu dan sisi objek dapat dilihat terus dari pandangan atas (arah Z), kesemua sisi pada pelan dilukis dengan garis padu (tidak ada sisi tersembunyi dari pandangan atas).

Contoh soalan

Rajah menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak segi empat tepat ABCD terletak pada satah mengufuk, dengan AB = 6 cm dan BC = 4 cm. Tinggi tegak prisma (AF) = 3 cm dan satah condong FG menurun dari F ke G dengan FG selari dengan AB. Lukis dan terangkan pelan, dongakan depan (dari arah X, selari AB) dan dongakan sisi (dari arah Y, selari BC) bagi prisma ini, menyatakan ukuran setiap unjuran.

• Pelan (pandangan atas, arah Z): bentuk segi empat tepat sama seperti tapak ABCD, berukuran 6 cm x 4 cm, kerana tapak adalah satah mengufuk yang dilihat terus dari atas.
• Dongakan depan (arah X, selari AB): bentuk segi empat tepat berukuran 6 cm (panjang AB) x 3 cm (tinggi AF), kerana permukaan ABGF dilihat terus dari arah X tanpa perubahan panjang.
• Dongakan sisi (arah Y, selari BC): bentuk segi empat tepat berukuran 4 cm (panjang BC) x 3 cm (tinggi AF), kerana sisi tegak AF/BG dilihat terus dari arah Y tanpa perubahan panjang.
• Kesimpulan: panjang sisi AB, BC dan tinggi tegak AF tidak berubah pada ketiga-tiga unjuran kerana sisi-sisi tersebut sentiasa selari dengan satah unjuran yang berkaitan.

Contoh soalan

Rajah menunjukkan gabungan sebuah kuboid (5 cm x 4 cm x 3 cm) dengan sebuah prisma tegak bertapak segi tiga bersudut tegak (kaki 5 cm dan 3 cm) yang dilekatkan di atas kuboid, dengan tapak prisma sama saiz dengan permukaan atas kuboid (5 cm x 4 cm). Lukis dengan skala penuh (a) pelan gabungan objek (b) dongakan depan objek dari arah X (selari sisi 5 cm) (c) dongakan sisi objek dari arah Y (selari sisi 4 cm), dan nyatakan jenis garis bagi setiap sisi tepi prisma yang tersembunyi.

• (a) Pelan: bentuk segi empat tepat 5 cm x 4 cm (sama dengan tapak kuboid, kerana prisma terletak terus di atas kuboid dengan tapak sama saiz). Garis tepi puncak prisma (jika kelihatan dari atas) dilukis dengan garis padu kerana dapat dilihat dari pandangan atas.
• (b) Dongakan depan (arah X): bahagian bawah segi empat tepat 5 cm x 3 cm (kuboid) dengan segi tiga bersudut tegak (kaki 5 cm dan 3 cm) di atasnya — bentuk pentagon tidak sekata mewakili profil kuboid + prisma.
• (c) Dongakan sisi (arah Y): bahagian bawah segi empat tepat 4 cm x 3 cm (kuboid) dengan segi empat tepat 4 cm x 3 cm (prisma) di atasnya, iaitu segi empat tepat 4 cm x 6 cm dengan garis pemisah pada ketinggian 3 cm.
• Sisi tepi puncak prisma yang berada di belakang (tidak dapat dilihat terus dari arah X atau Y disebabkan tertutup oleh permukaan condong prisma yang lain) dilukis dengan garis sempang (putus-putus), manakala semua sisi luar yang kelihatan terus dilukis dengan garis padu.

Contoh soalan

Rajah di sebelah menunjukkan pelan, dongakan depan dan dongakan sisi bagi sebuah prisma tegak dengan tapak segi empat tepat. Pelan menunjukkan segi empat tepat 5 cm x 4 cm. Dongakan depan menunjukkan segi empat tepat 5 cm x 4 cm dengan bahagian atas dipotong serong membentuk segi tiga bersudut tegak berkaki mengufuk 2 cm dan tinggi 1.5 cm pada penjuru kanan atas. Hitung panjang sisi condong (hipotenus) bagi bahagian yang dipotong serong itu, betul kepada satu tempat perpuluhan.

• Bahagian dipotong serong membentuk segi tiga bersudut tegak dengan dua kaki 2 cm dan 1.5 cm.
• Gunakan Teorem Pythagoras: sisi condong² = 2² + 1.5² = 4 + 2.25 = 6.25.
• Sisi condong = √6.25 = 2.5 cm.
• Maka, panjang sisi condong bahagian yang dipotong serong ialah 2.5 cm.

Contoh soalan

Sebuah kuboid berukuran 7 cm x 5 cm x 4 cm mempunyai sebuah prisma tegak bersudut tegak (dengan keratan rentas segi tiga berkaki 2 cm dan 3 cm, panjang 5 cm) dikeluarkan daripada salah satu tepinya untuk membentuk pepejal akhir. (a) Hitung isi padu prisma yang dikeluarkan, dalam cm3. (b) Hitung isi padu pepejal akhir (selepas dikeluarkan), dalam cm3. (c) Nyatakan nisbah isi padu prisma yang dikeluarkan berbanding isi padu pepejal akhir, dalam bentuk paling ringkas.

• (a) Isi padu prisma yang dikeluarkan = (1/2) x 2 cm x 3 cm x 5 cm = (1/2)(6)(5) = 15 cm3.
• (b) Isi padu kuboid asal = 7 cm x 5 cm x 4 cm = 140 cm3.
• Isi padu pepejal akhir = Isi padu kuboid asal − Isi padu prisma yang dikeluarkan = 140 cm3 − 15 cm3 = 125 cm3.
• (c) Nisbah isi padu prisma dikeluarkan : isi padu pepejal akhir = 15 : 125.
• Permudahkan dengan membahagi kedua-dua nombor dengan 5: 15:125 = 3:25.
• Maka, nisbah isi padu ialah 3 : 25.