Sudut dan Tangen bagi Bulatan — Nota JomSkor

Sudut pada Lilitan dan Sudut Pusat

Sudut-sudut pada lilitan bulatan yang dicangkum oleh lengkok yang SAMA adalah SAMA BESAR. Sudut pada lilitan yang dicangkum oleh diameter = 90 darjah (Teorem Thales). Jika sudut ADC ialah sudut pusat dan sudut ABC ialah sudut lilitan dicangkum oleh lengkok AC yang sama, maka sudut ADC = 2 x sudut ABC. Jika panjang lengkok PQ = panjang lengkok ST, maka sudut lilitan yang mencangkum PQ = sudut lilitan yang mencangkum ST.

Sudut pusat = 2 x sudut lilitan (dicangkum oleh lengkok yang sama)

Sisi Empat Kitaran

Sisi empat kitaran ialah sisi empat dengan keempat-empat bucunya terletak pada lilitan bulatan. Hasil tambah sudut pedalaman yang BERTENTANGAN = 180 darjah. Sudut peluaran bagi sisi empat kitaran = sudut pedalaman bertentangan yang sepadan. Contoh: jika ABCD adalah sisi empat kitaran dan garis BC dipanjangkan ke E, maka sudut DCE = sudut DAB.

Sudut A + Sudut C = 180 darjah; Sudut B + Sudut D = 180 darjah (sudut bertentangan)

Tangen kepada Bulatan

Tangen ialah garis lurus yang menyentuh bulatan pada satu titik sahaja. Titik sentuhan ialah titik ketangenan. Jejari yang bersilang dengan tangen pada titik ketangenan membentuk sudut tepat (90 darjah). Tangen berbeza dengan perentas yang melalui dua titik pada bulatan.

Tangen berserenjang dengan Jejari pada titik ketangenan (sudut = 90 darjah)

Sifat Dua Tangen dari Titik Luar

Jika dua tangen PA dan PB ditarik dari titik P luar bulatan berpusat O, dengan titik ketangenan A dan B: (1) PA = PB (panjang sama). (2) Sudut POA = sudut POB (garis OP membahagi dua sama sudut di antara dua tangen). (3) Sudut OPA = sudut OPB. Gunakan teorem Pythagoras dalam segi tiga OAP atau OBP untuk cari jarak.

PA = PB; sudut POA = sudut POB; sudut OPA = sudut OPB (jika PA dan PB tangen dari P)

Sudut antara Tangen dan Perentas (Tembereng Selang-Seli)

Jika PQR ialah tangen pada titik Q dan QS ialah perentas, maka sudut PQS = sudut pada lilitan bulatan dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas QS (tembereng bertentangan). Ini dikenali sebagai teorem tembereng selang-seli. Sudut RQS juga sama dengan sudut pada lilitan dalam tembereng lain.

Sudut antara tangen dengan perentas = sudut pada lilitan dalam tembereng selang-seli

Tangen Sepunya

Tangen sepunya ialah garis lurus yang menyinggung kedua-dua bulatan. Bagi bulatan berjejari positif, bilangan tangen sepunya bergantung pada kedudukan relatifnya, bukan sekadar sama ada kedua-duanya bersentuhan. Dua bulatan yang berasingan di luar mempunyai empat tangen sepunya, manakala satu bulatan sepenuhnya di dalam yang lain tanpa bersentuh tidak mempunyai tangen sepunya. Bulatan yang bersentuhan di dalam mempunyai satu tangen sepunya pada titik sentuhan; dua bulatan bertepatan berkongsi semua tangen. Dalam masalah panjang tangen, gunakan sifat jejari berserenjang dengan tangen serta Teorem Pythagoras mengikut kedudukan sebenar bulatan.

Berasingan di luar: 4; bersentuhan di luar: 3; bersilang pada dua titik: 2; bersentuhan di dalam: 1; satu sepenuhnya di dalam yang lain tanpa bersentuh: 0; bulatan bertepatan: tak terhingga.

Contoh soalan

Dalam rajah, KLMN ialah sisi empat kitaran. Sudut LKN = 104 darjah dan 8x = sudut LMN. Sudut KNM = 98 darjah dan 4y = sudut KLM. Cari nilai x dan y.

• Sudut LKN + sudut LMN = 180 darjah (sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran)
• 104 + 8x = 180
• 8x = 76
• x = 9.5
• Sudut KNM + sudut KLM = 180 darjah (sudut bertentangan)
• 98 + 4y = 180
• 4y = 82
• y = 20.5

x = 9.5, y = 20.5