Nisbah Trigonometri — Nota JomSkor

Sisi Bertentangan, Sisi Bersebelahan dan Hipotenus

Dalam segi tiga bersudut tegak, hipotenus adalah sisi terpanjang dan sentiasa bertentangan dengan sudut 90°, kedudukannya tetap. Sisi bertentangan dan sisi bersebelahan pula BERUBAH mengikut kedudukan sudut tirus yang dirujuk — sisi bertentangan ialah sisi yang bertentangan terus dengan sudut tirus yang dirujuk, manakala sisi bersebelahan ialah sisi yang berada sebelah sudut tirus itu (bukan hipotenus).

Hipotenus = sisi terpanjang, bertentangan dengan sudut 90°

Takrif Sinus, Kosinus dan Tangen

Bagi suatu sudut tirus θ yang ditetapkan, nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus, nisbah sisi bersebelahan kepada hipotenus, dan nisbah sisi bertentangan kepada sisi bersebelahan adalah nilai PEMALAR tanpa mengira saiz segi tiga bersudut tegak (asalkan sudutnya sama) — nisbah ini dinamakan sinus, kosinus dan tangen. Nilai nisbah hendaklah diberi dalam sebutan terendah.

sin θ = sisi bertentangan / hipotenus; kos θ = sisi bersebelahan / hipotenus; tan θ = sisi bertentangan / sisi bersebelahan

Kesan Perubahan Saiz Sudut terhadap Nilai Nisbah Trigonometri

Apabila sudut tirus θ meningkat dari 0° ke 90°, nilai sin θ meningkat dan menghampiri 1, manakala nilai kos θ menurun dan menghampiri 0. Nilai tan θ meningkat tanpa batas apabila θ menghampiri 90° dari bawah. Pada tepat 90°, tan θ tidak ditakrifkan kerana kos 90° ialah sifar; infiniti bukan nilai tangen pada sudut itu.

sin 0°=0, kos 0°=1, tan 0°=0; sin 90°=1, kos 90°=0; tan 90° tidak ditakrifkan

Hubungan antara Sinus, Kosinus dan Tangen

Tangen ialah nisbah sinus kepada kosinus bagi sudut yang sama, kerana tan θ = (bertentangan/hipotenus) ÷ (bersebelahan/hipotenus) = bertentangan/bersebelahan = sin θ/kos θ. Hubungan ini membolehkan kos θ atau sin θ dicari jika dua daripada tiga nisbah trigonometri diketahui.

tan θ = sin θ / kos θ

Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Khas 30°, 45°, 60°

Nilai-nilai ini diperoleh menggunakan segi tiga sama sisi (dibahagi separuh untuk sudut 30° dan 60°, sisi 2,1,√3) dan segi tiga sama kaki bersudut tegak (untuk sudut 45°, sisi 1,1,√2) — boleh dihitung tanpa kalkulator dan kerap digunakan dalam pengiraan surd.

sin30°=kos60°=1/2; kos30°=sin60°=√3/2; tan30°=1/√3=√3/3; sin45°=kos45°=√2/2=1/√2; tan45°=1; tan60°=√3

Unit Sudut: Darjah, Minit dan Saat

Sudut boleh dinyatakan dalam unit darjah (°) sahaja, atau dalam darjah dan minit (° dan ′). Untuk menukar pecahan darjah kepada minit, darabkan dengan 60 (cth 30.2° = 30° + (0.2×60)′ = 30°12′). Untuk menukar minit kepada pecahan darjah, bahagikan dengan 60 (cth 43°30′ = 43° + (30/60)° = 43.5°).

1° = 60′ (minit); 1′ = 60″ (saat)

Menentukan Nilai Nisbah Trigonometri dan Sudut Menggunakan Kalkulator Saintifik

Kalkulator saintifik digunakan untuk mencari nilai sin, kos atau tan bagi sudut yang diberi (termasuk dalam unit darjah-minit menggunakan butang °′ ″), biasa dibundarkan kepada empat tempat perpuluhan. Sebaliknya, jika nilai nisbah trigonometri diketahui, fungsi songsang sin⁻¹, kos⁻¹ atau tan⁻¹ digunakan untuk mencari saiz sudut, jawapan boleh dibundarkan kepada darjah atau darjah-minit terdekat (jika saat ≥ 30″, minit ditambah 1′).

sin x, kos x, tan x dicari terus; sudut dicari dengan sin⁻¹, kos⁻¹, tan⁻¹

Menyelesaikan Masalah Sebenar Melibatkan Sudut Dongak dan Sudut Tunduk

Banyak masalah sebenar (tinggi bangunan, tiang, rumah api, lebar sungai) boleh diselesaikan dengan membentuk segi tiga bersudut tegak menggunakan sudut dongak/tunduk dan jarak/ketinggian yang diketahui, kemudian menggunakan sin, kos atau tan yang sesuai untuk mencari sisi atau sudut yang tidak diketahui. Bagi bentuk 3D (kuboid, piramid), segi tiga bersudut tegak dikenal pasti dahulu dalam bentuk itu sebelum nisbah trigonometri digunakan, selalunya disertai Teorem Pythagoras.

Sudut dongak: sudut antara garis pandangan ke atas dengan garis ufuk; Sudut tunduk: sudut antara garis pandangan ke bawah dengan garis ufuk

Contoh soalan

Berdasarkan segi tiga bersudut tegak PQR dengan sudut tegak di Q, kenal pasti hipotenus, sisi bertentangan dan sisi bersebelahan bagi sudut QPR.

• Sudut tegak di Q, maka hipotenus ialah sisi yang bertentangan dengan sudut 90°, iaitu PR.
• Sisi bertentangan dengan sudut QPR ialah QR (sisi yang tidak menyentuh sudut QPR dan bukan hipotenus).
• Sisi bersebelahan dengan sudut QPR ialah PQ (sisi yang menyentuh sudut QPR, bukan hipotenus).

Contoh soalan

Rajah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQR dengan sudut tegak di Q. Diberi PQ = 15 cm dan QR = 8 cm. Hitung (a) panjang PR (b) sin PRQ (c) kos PRQ (d) tan QPR.

• (a) PR² = PQ² + QR² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289, maka PR = √289 = 17 cm.
• (b) sin PRQ = sisi bertentangan/hipotenus = PQ/PR = 15/17.
• (c) kos PRQ = sisi bersebelahan/hipotenus = QR/PR = 8/17.
• (d) tan QPR = sisi bertentangan/sisi bersebelahan = QR/PQ = 8/15.

Contoh soalan

Rajah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQT dan RQS yang berasingan. Bagi segi tiga PQT (sudut tegak di Q), diberi PQ = 4 cm dan QT = 3 cm. Bagi segi tiga RQS (sudut tegak di Q), diberi QR = 10 cm dan SQ = 6 cm. Hitung (a) panjang PT (b) panjang SR (c) sin QRS (d) kos TPQ (e) tan PTQ.

• (a) PT² = PQ² + QT² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, maka PT = √25 = 5 cm (hipotenus segi tiga PQT).
• (b) SR² = QR² + SQ² = 10² + 6² = 100 + 36 = 136, maka SR = √136 = 11.66 cm (3 s.b., hipotenus segi tiga RQS).
• (c) sin QRS = sisi bertentangan/hipotenus = SQ/SR = 6/11.66 = 0.5146 (4 t.p.).
• (d) kos TPQ = sisi bersebelahan/hipotenus = PQ/PT = 4/5.
• (e) tan PTQ = sisi bertentangan/sisi bersebelahan = PQ/QT = 4/3.

Contoh soalan

Rajah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQR dengan PR = 20 cm dan sin QPR = 3/5. Hitung (a) panjang QR (b) kos QPR.

• (a) sin QPR = QR/PR, maka 3/5 = QR/20, jadi QR = 3(20)/5 = 12 cm.
• (b) Cari PQ dahulu menggunakan Teorem Pythagoras: PQ = √(PR² − QR²) = √(20² − 12²) = √(400−144) = √256 = 16 cm.
• kos QPR = PQ/PR = 16/20 = 4/5.

Contoh soalan

Jika nilai sin θ = 0.6 dan kos θ = 0.8, hitung nilai tan θ.

• Gunakan hubungan tan θ = sin θ / kos θ.
• tan θ = 0.6/0.8 = 6/8 = 3/4 = 0.75.

Contoh soalan

Jika nilai sin θ = 3/8 dan nilai tan θ = 3/√55, hitung nilai kos θ.

• Gunakan hubungan tan θ = sin θ / kos θ.
• 3/√55 = (3/8) ÷ kos θ.
• kos θ = (3/8) ÷ (3/√55) = (3/8) × (√55/3) = √55/8.

Contoh soalan

Hitung nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator: (a) sin 45° + kos 45° (b) 3 kos 30° − 2 sin 60°.

• (a) sin 45° = √2/2, kos 45° = √2/2. Maka sin 45° + kos 45° = √2/2 + √2/2 = 2(√2)/2 = √2.
• (b) kos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2. Maka 3(√3/2) − 2(√3/2) = (3√3)/2 − (2√3)/2 = √3/2.

Contoh soalan

Gambar rajah menunjukkan tangga PR yang disandarkan pada dinding membentuk segi tiga bersudut tegak PQR (sudut tegak di Q). Sudut PRQ = 50° dan tinggi QR = 2.5 m. Hitungkan panjang tangga PR, betul kepada dua tempat perpuluhan.

• kos 50° = sisi bersebelahan/hipotenus = QR/PR.
• kos 50° = 2.5/PR.
• PR = 2.5/kos 50° = 2.5/0.6428 = 3.89 m (2 t.p.).

Contoh soalan

Rajah menunjukkan kuboid ABCDEFGH. Diberi BC = 8 cm, CH = 5 cm dan tinggi HE = 4 cm. Jika segi tiga bersudut tegak FGC dibentuk dalam kuboid (FG = EH), hitung nilai sudut FCG.

• Memahami masalah: sudut FCG boleh dihitung jika dua daripada sisi CG, CF atau FG diketahui.
• Merancang strategi: FG = EH = 4 cm (sisi tegak yang sama). CG lebih mudah dihitung berbanding CF, maka gunakan tan FCG = FG/CG.
• Melaksanakan strategi: CG = √(BC² + BG²) = √(8² + 5²) = √(64+25) = √89 cm.
• tan FCG = FG/CG = 4/√89.
• FCG = tan⁻¹(4/√89) = 22.98°.
• Membuat kesimpulan: sudut FCG = 22.98° atau 22°59′.

Contoh soalan

Gunakan kalkulator saintifik untuk menentukan nilai-nilai berikut kepada empat tempat perpuluhan: (a) sin 45°6′ (b) kos 20.7° (c) tan 64°12′.

• (a) sin 45°6′ = 0.7083.
• (b) kos 20.7° = 0.9354.
• (c) tan 64°12′ = 2.0686.

Contoh soalan

Gunakan kalkulator saintifik untuk mengira nilai x jika sin x = 0.8377, beri jawapan dalam unit darjah dan minit.

• x = sin⁻¹ 0.8377 = 56.898° (gunakan kalkulator).
• Tukar pecahan darjah kepada minit dan saat: 56°53′52.93″.
• Bundarkan kepada minit terdekat (saat ≥ 30″ maka tambah 1′): x = 56°54′.