Lukisan Berskala — Nota JomSkor
Bab ini mengkaji lukisan berskala (hubungan antara ukuran sebenar objek dan lukisan pelbagai saiz objek, serta maksud lukisan berskala), mentafsir skala suatu lukisan berskala dalam bentuk 1:n, menentukan skala/ukuran objek/ukuran lukisan berskala menggunakan rumus Skala = Ukuran lukisan berskala : Ukuran objek, melukis lukisan berskala bagi suatu objek dan sebaliknya (menggunakan grid sama saiz, grid berlainan saiz, atau kertas kosong), serta menyelesaikan masalah yang melibatkan lukisan berskala (termasuk bentuk satah seperti segi tiga, segi empat, poligon, bulatan dan bentuk gabungan/komposit).
Matematik · Tingkatan 3
Bab ini mengkaji lukisan berskala (hubungan antara ukuran sebenar objek dan lukisan pelbagai saiz objek, serta maksud lukisan berskala), mentafsir skala suatu lukisan berskala dalam bentuk 1:n, menentukan skala/ukuran objek/ukuran lukisan berskala menggunakan rumus Skala = Ukuran lukisan berskala : Ukuran objek, melukis lukisan berskala bagi suatu objek dan sebaliknya (menggunakan grid sama saiz, grid berlainan saiz, atau kertas kosong), serta menyelesaikan masalah yang melibatkan lukisan berskala (termasuk bentuk satah seperti segi tiga, segi empat, poligon, bulatan dan bentuk gabungan/komposit).
Lukisan Berskala
Lukisan Berskala ialah lukisan suatu objek dengan keadaan semua ukuran dalam lukisan adalah berkadaran dengan ukuran pada objek sebenar. Panjang sisi boleh berubah (berkurang/bertambah mengikut kadaran tertentu) tetapi saiz semua sudut TIDAK berubah berbanding objek asal.
Lukisan berskala = lukisan objek dengan semua ukuran berkadaran dengan ukuran objek
Skala
Skala ialah nisbah ukuran lukisan berskala kepada ukuran objek, ditulis sebagai Ukuran lukisan berskala : Ukuran objek atau dalam bentuk piawai 1 : n dengan n ialah integer positif atau pecahan. 1 : n bermaksud satu unit pada lukisan berskala mewakili n unit pada objek sebenar.
Skala = Ukuran lukisan berskala / Ukuran objek, ditulis dalam bentuk 1 : n
Kesan Nilai n terhadap Saiz Lukisan
Jika n < 1, saiz lukisan berskala lebih besar daripada saiz objek (lukisan diperbesarkan). Jika n = 1, saiz lukisan berskala sama dengan saiz objek. Jika n > 1, saiz lukisan berskala lebih kecil daripada saiz objek (lukisan diperkecilkan).
n < 1: lukisan lebih besar | n = 1: lukisan sama saiz | n > 1: lukisan lebih kecil
Menentukan Skala Menggunakan Sisi Sepadan
Apabila objek dan lukisan berskala dilukis pada grid segi empat sama yang SAMA saiz, skala dikira terus dengan membahagikan panjang (bilangan unit) sisi lukisan berskala dengan panjang sisi objek yang sepadan, kemudian dipermudahkan ke bentuk 1 : n.
Skala = Sisi lukisan berskala (P'Q') / Sisi objek sepadan (PQ)
Menentukan Skala Menggunakan Saiz Grid (Grid Berlainan Saiz)
Apabila objek dan lukisan berskala dilukis pada grid segi empat sama yang BERLAINAN saiz tetapi bilangan unit sisi adalah sama, skala boleh dikira terus daripada nisbah saiz grid lukisan berskala kepada saiz grid objek (Kaedah 2), tanpa perlu mengira semula panjang sisi sebenar.
Skala = Saiz grid lukisan berskala / Saiz grid objek
Menukar Ukuran Lukisan kepada Ukuran Sebenar (dan sebaliknya)
Bagi skala 1 cm : n unit (cth peta dengan skala 1 cm : 50 km), ukuran sebenar diperoleh dengan mendarab ukuran pada lukisan dengan nilai n. Sebaliknya, ukuran pada lukisan diperoleh dengan membahagikan ukuran sebenar dengan n. Pastikan unit skala dan unit yang dikehendaki soalan adalah sama sebelum mengira; jika tidak, tukar unit dahulu (cth km ke cm menggunakan 1 km = 100000 cm).
Jarak sebenar = Jarak pada lukisan x n (daripada skala 1:n)
Melukis Lukisan Berskala bagi Suatu Objek
Lukisan berskala boleh dilukis dengan TIGA cara: (a) menggunakan kertas grid yang SAMA saiz tetapi bilangan unit sisi diubah mengikut skala; (b) menggunakan kertas grid yang BERLAINAN saiz tetapi bilangan unit sisi dikekalkan sama; (c) melukis terus di atas kertas kosong mengikut ukuran sebenar berdasarkan skala yang diberi (sudut mesti dibina dengan tepat menggunakan protraktor, panjang sisi mengikut skala).
3 cara: (a) grid sama saiz, skala berlainan (b) grid berlainan saiz (c) kertas kosong mengikut skala
Melukis Objek Sebenar daripada Lukisan Berskala (Songsang)
Proses songsang: diberi lukisan berskala dan skalanya, objek sebenar dilukis semula dengan mendarab/membahagi panjang setiap sisi lukisan berskala mengikut nilai n. Bentuk geometri (segi tiga, segi empat, poligon, bulatan, bentuk komposit/gabungan) dikekalkan, hanya saiz berubah mengikut skala.
Sisi objek sebenar = Sisi lukisan berskala x n (jika skala 1:n)
Lukisan Berskala bagi Bentuk Satah dan Bentuk Gabungan
Lukisan berskala turut merangkumi bentuk satah asas seperti segi tiga, segi empat (sama/tepat), poligon sekata dan bulatan, serta bentuk gabungan (komposit) yang terdiri daripada lebih daripada satu bentuk asas. Bagi bulatan, ukuran diameter/radius diskalakan sama seperti ukuran sisi bagi bentuk lain.
Setiap bentuk asas (segi tiga, segi empat, poligon, bulatan) dan gabungannya boleh dilukis berskala
Menyelesaikan Masalah Melibatkan Lukisan Berskala
Masalah lukisan berskala (terutamanya konteks peta/jarak/luas/isi padu/kos) diselesaikan dengan mengenal pasti skala dan ukuran yang diberi, menukar unit jika perlu, menggunakan rumus Skala = Jarak pada lukisan / Jarak sebenar atau rumus luas/isi padu yang berkaitan, dan rumus tambahan seperti Laju = Jarak/Masa apabila soalan melibatkan pergerakan.
Gunakan strategi: Memahami masalah -> Merancang strategi -> Melaksanakan -> Menyemak
Contoh soalan
Rajah menunjukkan objek PQRS dan lukisan berskala P'Q'R'S' yang dilukis pada grid segi empat sama yang sama saiz. Panjang P'Q' = 2 unit, PQ = 4 unit. Nyatakan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.
- Skala = P'Q' / PQ = 2/4 = 1/2.
- Maka, skala = 1 : 2.
Contoh soalan
Rajah menunjukkan objek KLM dan lukisan berskala K'L'M' pada grid segi empat sama yang sama saiz. K'L' = 9 unit, KL = 3 unit. Nyatakan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.
- Skala = K'L' / KL = 9/3 = 3/1, iaitu skala = 3 : 1.
- Bahagikan 3 : 1 dengan 3 untuk mendapatkan nilai 1 pada bahagian kiri: 1 : 1/3.
- Maka, skala = 1 : 1/3.
Contoh soalan
Objek dilukis pada grid 1 cm dan lukisan berskala pada grid 2 cm (saiz grid berlainan). Bilangan unit sisi objek dan lukisan adalah sama. Tentukan skala yang digunakan dalam bentuk 1 : n.
- Kaedah saiz grid: Skala = Saiz grid lukisan berskala / Saiz grid objek = 2 cm / 1 cm = 2/1.
- Maka, skala = 2 : 1, iaitu 1 : 1/2.
Contoh soalan
Sebuah peta dilukis dengan skala 1 : 300 000. Hitung jarak sebenar, dalam km, sebatang sungai yang panjangnya 3 cm pada peta tersebut.
- Skala 1 : 300 000 bermaksud 1 cm pada lukisan : 300 000 cm pada objek sebenar.
- Jarak sebenar = 3 cm x 300 000 cm = 900 000 cm.
- Tukar kepada km: 900 000 cm / 100 000 = 9 km.
- Maka, jarak sebenar sungai ialah 9 km.
Contoh soalan
Khairul melukis segi empat sama dengan skala 1 : 1/3. Jika panjang sebenar sisi segi empat sama itu ialah 6 cm, hitung panjang sisi, dalam cm, pada lukisan berskala.
- Skala = Sisi lukisan berskala / Sisi objek sepadan = 1 ÷ (1/3) = 3.
- Sisi lukisan berskala = 6 cm x 3 (kerana 1 : 1/3 bermaksud lukisan 3 kali lebih besar).
- Sisi lukisan berskala = 18 cm.
- Maka, panjang sisi pada lukisan berskala ialah 18 cm.
Contoh soalan
Jarak di antara Bintulu dengan Miri di atas suatu peta ialah 4 cm. (a) Jika skala peta ialah 1 cm : 50 km, hitung jarak sebenar di antara Bintulu dengan Miri. (b) Jika peta dilukis semula dengan skala 1 : 2 000 000, hitung jarak di antara Bintulu dengan Miri di atas peta baharu, dalam cm. (c) Jika Encik Dominic memandu dengan kelajuan 80 km j-1, hitung masa yang diperlukan dalam jam dan minit.
- (a) Jarak sebenar = 4 cm x 50 km = 200 km.
- (b) Skala 1 : 2 000 000 bermaksud 1 cm : 2 000 000 cm = 1 cm : 20 km.
- Jarak pada lukisan baharu = 200 km / 20 km/cm = 10 cm.
- (c) Masa = Jarak / Laju = 200 km / 80 km j-1 = 2.5 jam.
- Tukar 0.5 jam kepada minit: 0.5 x 60 = 30 minit.
- Maka, tempoh masa yang diperlukan ialah 2 jam 30 minit.
Contoh soalan
Sebuah segi tiga bersudut tegak mempunyai dua sisi 18 cm dan 24 cm. Suatu lukisan berskala bagi segi tiga itu dilukis mengikut skala 1 : 1/3. Hitung luas, dalam cm2, bagi lukisan berskala itu.
- Skala 1 : 1/3 bermaksud lukisan berskala 3 kali lebih besar daripada objek.
- Sisi lukisan berskala: 18 cm x 3 = 54 cm dan 24 cm x 3 = 72 cm.
- Luas lukisan berskala = (1/2) x 54 cm x 72 cm.
- Luas lukisan berskala = (1/2) x 3888 = 1944 cm2.
Contoh soalan
Ukuran sebuah bilik berbentuk segi empat tepat pada lukisan berskala ialah 7 cm x 5 cm. Jika skala yang digunakan ialah 1 : 400, hitung luas sebenar bilik tersebut dalam m2.
- Ukuran sebenar panjang = 7 cm x 400 = 2800 cm = 28 m.
- Ukuran sebenar lebar = 5 cm x 400 = 2000 cm = 20 m.
- Luas sebenar = 28 m x 20 m = 560 m2.
- Maka, luas sebenar bilik ialah 560 m2.
- Tersilap anggap lukisan berskala mesti lebih besar daripada objek — sebenarnya bergantung kepada nilai n: n<1 lukisan lebih besar, n=1 sama saiz, n>1 lukisan lebih kecil.
- Lupa bahawa saiz SUDUT mesti kekal SAMA antara objek dan lukisan berskala — hanya panjang sisi yang berubah mengikut kadaran; jika sudut berubah, ia BUKAN lukisan berskala.
- Mengelirukan dua kaedah pengiraan skala apabila grid berlainan saiz — kaedah panjang sisi sebenar (P'Q'/PQ) dan kaedah saiz grid (saiz grid lukisan/saiz grid objek) hanya boleh disamakan apabila bilangan unit sisi objek dan lukisan adalah SAMA.
- Tidak menukar unit (cth cm ke km, atau m ke cm) sebelum mengira jarak sebenar atau luas sebenar daripada skala, menyebabkan jawapan tersasar mengikut faktor 100, 1000 atau 100000.
- Tersilap bentuk nisbah skala 1 : n apabila nilai n adalah pecahan — perlu permudahkan kepada bentuk standard 1 : n (cth 3 : 1 perlu ditukar kepada 1 : 1/3, bukan dibiarkan dalam bentuk n : 1).
- Bagi soalan luas atau isi padu, terlupa bahawa skala panjang TIDAK boleh terus digunakan untuk luas/isi padu — luas berskala dengan faktor n^2 dan isi padu dengan faktor n^3 berbanding objek sebenar (atau sebaliknya bergantung arah penukaran).
- Tersilap arah penukaran antara ukuran lukisan dan ukuran sebenar. Kenal pasti dahulu nisbah lukisan kepada objek dalam unit sama; bagi skala 1:n dengan n>0, ukuran sebenar ialah ukuran lukisan didarab n, manakala ukuran lukisan ialah ukuran sebenar dibahagi n. Nilai n>1 mengecilkan lukisan dan 0<n<1 membesarkannya.
- Sentiasa tulis skala dalam bentuk piawai 1 : n di mana bahagian kiri ialah 1 — jika nilai awal bukan 1, bahagi kedua-dua bahagian nisbah dengan nombor yang sama untuk mendapatkan bentuk 1 : n atau 1 : 1/n.
- Apabila grid objek dan lukisan berlainan saiz, nisbah saiz grid boleh digunakan terus hanya jika bilangan unit sisi sepadan adalah sama. Jika bilangannya berbeza, darab bilangan unit dengan saiz grid masing-masing untuk memperoleh panjang sisi sepadan sebelum membentuk nisbah.
- Untuk soalan jarak sebenar/jarak pada lukisan, tulis dahulu skala dalam bentuk 'Lukisan berskala : Objek' (cth 1 cm : 10 km), kemudian darab atau bahagi kedua-dua bahagian dengan faktor yang sama mengikut ukuran yang diberi dalam soalan.
- Periksa unit skala dan unit yang dikehendaki dalam soalan SEBELUM mengira — jika sama (cth kedua-duanya km), skala tidak perlu ditukar kepada unit cm; jika berlainan, tukar unit dahulu menggunakan 1 km = 1000 m = 100 000 cm.
- Bagi soalan luas/isi padu lukisan berskala, kira dahulu ukuran sisi sebenar/lukisan menggunakan skala panjang, kemudian gunakan ukuran itu untuk mengira luas atau isi padu — JANGAN terus mendarab luas/isi padu objek dengan nilai n.
- Bagi soalan penyelesaian masalah bercampur (jarak, masa, kos, kadar), gunakan kaedah 'Memahami masalah -> Merancang strategi -> Melaksanakan strategi' secara sistematik, dan kenal pasti rumus tambahan yang diperlukan (cth Laju = Jarak/Masa, Kos = Kadar x Kuantiti).
- Semak semula jawapan dengan menggantikan semula nilai yang diperoleh ke dalam nisbah skala asal untuk pastikan ia konsisten dengan ukuran yang diberi dalam soalan.
- Lukisan Berskala
- Skala
- Saiz sebenar
- Saiz grid
- Ukuran lukisan berskala
- Ukuran objek
- Bentuk geometri
- Poligon sekata
- Bentuk gabungan
- Jarak sebenar
- Jarak pada lukisan