Indeks — Nota JomSkor

Bab ini mengkaji tatatanda indeks (mewakilkan pendaraban berulang dalam bentuk indeks a^n, menukar nombor kepada bentuk indeks dan sebaliknya, menghitung nilai bagi nombor dalam bentuk indeks) serta hukum indeks (hukum pendaraban a^m x a^n = a^(m+n), hukum pembahagian a^m / a^n = a^(m-n), hukum kuasa (a^m)^n = a^mn, hukum kuasa bagi hasil darab/bahagi (a^m x b^n)^q dan (a^m/b^n)^q, indeks sifar a^0 = 1, indeks negatif a^(-n) = 1/a^n, indeks pecahan a^(1/n) = n-akar-a dan a^(m/n), serta menyelesaikan masalah dan persamaan yang melibatkan hukum-hukum indeks).

Matematik · Tingkatan 3

Tatatanda Indeks

Bagi indeks integer positif n, a^n ialah hasil darab n faktor asas a yang sama. Indeks mengira bilangan faktor, bukan bilangan tanda darab; contohnya 4³ mempunyai tiga faktor dan dua tanda darab. Asas sifar sah untuk indeks integer positif. Indeks sifar, negatif atau pecahan mempunyai tafsiran dan syarat domain tambahan, maka penerangan faktor berulang ini tidak digunakan untuk semua indeks.

a^n = hasil darab n faktor a, bagi n integer positif; a boleh sifar

Menukar Nombor kepada Bentuk Indeks

Untuk menukar suatu nombor kepada bentuk indeks dengan asas yang dinyatakan: (i) Kaedah Pembahagian Berulang — bahagikan nombor itu secara berulang dengan asas yang dipilih sehingga mendapat nilai 1, bilangan kali pembahagian = nilai indeks. (ii) Kaedah Pendaraban Berulang — darabkan asas secara berulang sehingga mencapai nilai nombor yang dikehendaki. Contoh: 64 = 2^6 = 4^3 = 8^2.

Kaedah Pembahagian Berulang ATAU Kaedah Pendaraban Berulang

Hukum Pendaraban Indeks

Apabila mendarab dua atau lebih nombor dalam bentuk indeks dengan ASAS YANG SAMA, tambahkan indeks-indeks tersebut dan kekalkan asas yang sama. Bagi sebutan algebra dengan asas berlainan, kumpulkan dahulu asas yang sama sebelum menambah indeks.

a^m x a^n = a^(m+n)

Hukum Pembahagian Indeks

Bagi kuasa berasas sama yang bukan sifar dan indeks integer, pemansuhan faktor memberikan penolakan indeks penyebut daripada indeks pengangka. Asas tidak boleh sifar kerana penyebut kuasa mesti tertakrif dan bukan sifar. Selepas pemudahan, syarat asal ini dikekalkan walaupun ungkapan ringkas mungkin dapat dinilai pada sifar. Untuk indeks bukan integer, pastikan semua kuasa nyata yang digunakan tertakrif sebelum menggunakan hukum.

a^m/a^n=a^(m−n), dengan a≠0 bagi indeks integer m,n

Hukum Kuasa bagi Indeks

Bagi indeks integer dengan semua ungkapan tertakrif, kuasa luar mengulangi kumpulan faktor atau salingan yang sepadan dan menghasilkan darab indeks. Jika indeks integer positif sahaja, asas sifar boleh digunakan. Bagi indeks nyata atau pecahan umum, asas positif memberikan bentuk hukum yang selamat; hukum ini tidak boleh dilanjutkan tanpa syarat kepada semua asas negatif. Contohnya ((−1)²)^(1/2)=1 tetapi (−1)^(2×1/2)=−1, maka domain dan punca utama perlu disemak.

(a^m)^n=a^(mn) untuk indeks integer m,n pada domain tertakrif; bagi indeks nyata umum, gunakan a>0

Hukum Kuasa bagi Hasil Darab dan Hasil Bahagi

Apabila hasil darab atau hasil bahagi dua sebutan dalam bentuk indeks dikuasakan dengan indeks q, setiap sebutan di dalam kurungan itu dikuasakan secara berasingan dengan q (darabkan setiap indeks asal dengan q).

(a^m x b^n)^q = a^(mq) x b^(nq) ; (a^m / b^n)^q = a^(mq) / b^(nq)

Indeks Sifar

Sebarang nombor atau sebutan algebra (bukan sifar) yang dikuasakan dengan indeks sifar akan memberi nilai 1. Ini diperoleh daripada hukum pembahagian: a^m / a^m = a^(m-m) = a^0, tetapi a^m/a^m mesti bersamaan 1, maka a^0 = 1.

a^0 = 1 ; a notequal 0

Indeks Negatif

Nombor atau sebutan algebra yang mempunyai indeks negatif sama dengan salingan (reciprocal) bagi nombor itu dengan indeks positif. Begitu juga, (a/b)^(-n) = (b/a)^n. Tips: a x (-n) tidak sama dengan -1/a^n; jaga tanda kurung semasa menggunakan kalkulator untuk asas negatif/pecahan.

a^(-n) = 1/a^n ; a notequal 0

Indeks Pecahan (Bentuk a^(1/n))

a^(1/n) ialah punca kuasa ke-n bagi a. Contoh: 36^(1/2) = akar-kuasa-dua-36, m^(1/5) = punca-kuasa-lima-m. Indeks pecahan 1/n menunjukkan operasi mencari punca kuasa ke-n.

a^(1/n) = n-akar-a (punca ke-n bagi a) ; a >= 0 jika n genap

Indeks Pecahan (Bentuk a^(m/n))

Pada domain asas positif, bentuk kuasa kemudian punca dan punca kemudian kuasa memberikan nilai yang sama bagi indeks m/n. Jika a=0, indeks positif boleh dinilai tetapi indeks sifar atau negatif memerlukan semakan kerana 0^0 tidak ditetapkan di sini dan pembahagian dengan sifar tidak sah. Bagi asas negatif, pengurangan pecahan, pariti penyebut dan takrif punca nyata mesti dipertimbangkan; jangan menganggap setiap susunan operasi setara. Contohnya bagi a=−1 dan pecahan 2/2=1, a^(2/2)=−1 tetapi √(a²)=1.

Bagi a>0, m integer dan n integer positif: a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m

Menyelesaikan Persamaan Indeks

Samakan asas yang positif dan bukan satu sebelum menyamakan indeks. Jika indeks integer positif yang sama digunakan untuk asas tidak negatif, nilai kuasa yang sama memberikan asas yang sama. Bagi asas nyata yang boleh negatif dan indeks genap, asas bertentangan tanda boleh memberikan kuasa sama, contohnya (−2)² = 2²; jadi syarat asas tidak negatif tidak boleh diabaikan.

Jika a^m = a^n dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka m = n. Jika a^k = b^k dengan a,b ≥ 0 dan k integer positif, maka a = b.

Contoh soalan

Tulis pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks a^n: (a) 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 (b) (-2) x (-2) x (-2)

(a) 5 berulang dadar 6 kali, maka 5x5x5x5x5x5 = 5^6.
(b) (-2) berulang darab 3 kali, maka (-2)x(-2)x(-2) = (-2)^3.

Contoh soalan

Tuliskan 64 dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas 2, asas 4 dan asas 8.

Asas 2: 64 dibahagi berulang dengan 2 -> 64,32,16,8,4,2,1 (6 kali bahagi), maka 64 = 2^6.
Asas 4: 64 dibahagi berulang dengan 4 -> 64,16,4,1 (3 kali bahagi), maka 64 = 4^3.
Asas 8: 64 dibahagi berulang dengan 8 -> 64,8,1 (2 kali bahagi), maka 64 = 8^2.

Contoh soalan

Ringkaskan setiap yang berikut menggunakan hukum indeks yang sesuai: (a) 7^2 x 7^3 (b) 2k^2 x 4k^3 (c) m^4n^3 / m^2n (d) (3^2)^4

(a) 7^2 x 7^3 = 7^(2+3) = 7^5 (hukum pendaraban, asas sama).
(b) 2k^2 x 4k^3 = (2x4)(k^2 x k^3) = 8k^(2+3) = 8k^5 (darab pekali, tambah indeks).
(c) m^4n^3 / m^2n = m^(4-2) n^(3-1) = m^2n^2 (hukum pembahagian, asas sama).
(d) (3^2)^4 = 3^(2x4) = 3^8 (hukum kuasa, darab indeks).

Contoh soalan

Permudahkan: (a) (7^3 x 5^4)^3 (b) (5m^4n^3)^2

(a) (7^3 x 5^4)^3 = 7^(3x3) x 5^(4x3) = 7^9 x 5^12 (hukum kuasa bagi hasil darab — kuasakan setiap faktor dengan 3).
(b) (5m^4n^3)^2 = 5^2 x m^(4x2) x n^(3x2) = 25m^8n^6 (kuasakan pekali 5 dan setiap pemboleh ubah dengan 2).

Contoh soalan

Buktikan bahawa 2^3 / 2^3 = 2^0 = 1, dan nyatakan x^(-2) dalam bentuk indeks positif serta hitung nilai 3^(-2).

2^3 / 2^3 secara pendaraban berulang = (2x2x2)/(2x2x2) = 1. Secara hukum indeks, 2^3/2^3 = 2^(3-3) = 2^0. Maka 2^0 = 1.
Secara generalisasi, a^0 = 1 untuk a notequal 0.
x^(-2) = 1/x^2 (hukum indeks negatif).
3^(-2) = 1/3^2 = 1/9.

Contoh soalan

Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a^(1/n) dan hitung nilainya jika berkaitan: (a) punca-kuasa-dua-36 (b) punca-kuasa-tiga-(-27) (c) hitung nilai bagi 512^(1/3)

(a) punca-kuasa-dua-36 = 36^(1/2).
(b) punca-kuasa-tiga-(-27) = (-27)^(1/3).
(c) 512^(1/3) = (8^3)^(1/3) = 8^(3 x 1/3) = 8^1 = 8.

Contoh soalan

Hitung nilai bagi 64^(2/3) menggunakan dua kaedah berlainan, dan tunjukkan kedua-dua kaedah memberi jawapan yang sama.

Kaedah 1: 64^(2/3) = (64^(1/3))^2 = 4^2 = 16 (cari punca kuasa tiga dahulu, kemudian kuasakan dengan 2).
Kaedah 2: 64^(2/3) = (64^2)^(1/3) = 4096^(1/3) = 16 (kuasakan dahulu dengan 2, kemudian cari punca kuasa tiga — nombor lebih besar untuk dikira).
Kedua-dua kaedah memberi nilai yang sama iaitu 16, tetapi Kaedah 1 lebih mudah dikira tanpa kalkulator kerana nombor menjadi lebih kecil dahulu.

Contoh soalan

Hitung nilai x bagi persamaan 3^x x 9^(x+5) x 3^4 = 1.

Tukar semua sebutan kepada asas 3: 9^(x+5) = (3^2)^(x+5) = 3^(2(x+5)).
3^x x 3^(2(x+5)) x 3^4 = 3^0 (kanan persamaan, 1 = 3^0, asas sama).
Tambahkan semua indeks di kiri (hukum pendaraban): x + 2(x+5) + 4 = 0.
x + 2x + 10 + 4 = 0 -> 3x + 14 = 0.
Selesaikan: 3x = -14, maka x = -14/3.
Semak: gantikan x = -14/3 ke dalam 3^x x 3^(2x+10) x 3^4 dan jumlahkan indeks: (-14/3) + 2(-14/3) + 10 + 4 = (-14/3) + (-28/3) + 14 = (-42/3) + 14 = -14 + 14 = 0, maka jawapan = 3^0 = 1 (sah).

Contoh soalan

Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi persamaan 3^(x^2) x 3^(2x) = 3^15.

Samakan indeks (asas sama): x^2 + 2x = 15.
Bentuk persamaan kuadratik: x^2 + 2x - 15 = 0.
Faktorkan: (x - 3)(x + 5) = 0.
x - 3 = 0 atau x + 5 = 0, maka x = 3 atau x = -5.
Semak: gantikan x=3: 3^9 x 3^6 = 3^15 (sama). Gantikan x=-5: 3^25 x 3^(-10) = 3^15 (sama).

Contoh soalan

Selesaikan persamaan serentak berikut: 25^m x 5^n = 5^8 dan 2^m x 2^(-n/2) = 2.

Persamaan pertama: 25^m x 5^n = 5^8, dengan 25 = 5^2, maka 5^(2m) x 5^n = 5^8, jadi 2m + n = 8 (Pers 1).
Persamaan kedua: 2^m x 2^(-n/2) = 2^1 (asas sama), maka m - n/2 = 1 (Pers 2).
Darab Pers 2 dengan 2: 2m - n = 2 (Pers 2a).
Tambahkan Pers 1 dan Pers 2a: (2m+n) + (2m-n) = 8+2, maka 4m = 10, jadi m = 5/2.
Gantikan m = 5/2 ke dalam Pers 1: 2(5/2) + n = 8, maka 5 + n = 8, jadi n = 3.
Semak: gantikan m=5/2, n=3 ke Pers 2: (5/2) - 3/2 = 1 (sah). Maka m = 5/2 dan n = 3.

Mengelirukan a^(-n) dengan -1/a^n atau -a^n — indeks negatif memberi SALINGAN nombor itu (1/a^n), bukan nilai negatif bagi nombor tersebut.
Tersilap menggunakan hukum pendaraban/pembahagian indeks (menambah/menolak indeks) apabila ASAS TIDAK SAMA — hukum am x an = a^(m+n) dan am/an = a^(m-n) HANYA sah jika asas adalah sama; tukar dahulu kepada asas yang sama (biasanya faktor perdana) sebelum mengaplikasikan hukum.
Mengelirukan -a^n dengan (-a)^n — -a^n bermaksud negatif bagi (a^n), manakala (-a)^n bermaksud asas negatif dikuasakan dengan n. Contoh: -3^2 = -9 tetapi (-3)^2 = 9.
Lupa bahawa asas bernilai negatif atau pecahan MESTI ditekan bersama tanda kurung semasa menggunakan kalkulator saintifik, jika tidak jawapan yang terhasil akan tersilap tanda atau nilai.
Tersilap urutan operasi dalam indeks pecahan a^(m/n) — menganggap mesti kuasakan dahulu dengan m sebelum mencari punca ke-n, walaupun kaedah mencari punca ke-n dahulu (nombor lebih kecil) selalunya lebih mudah dan memberi jawapan yang sama.
Tersilap anggap a^0 = 0 — sebarang nombor (bukan sifar) dikuasakan dengan indeks sifar memberi nilai 1, BUKAN 0.
Tersilap menyamakan indeks tanpa memastikan kedua-dua belah menggunakan asas positif yang sama dan bukan satu; asas satu memberikan nilai satu bagi semua indeks nyata.

Sentiasa tukar semua nombor dalam persamaan atau ungkapan indeks kepada FAKTOR PERDANA (asas yang sama) sebelum mengaplikasikan sebarang hukum indeks — ini memudahkan pengiraan dan mengelakkan kesilapan.
Bagi indeks pecahan a^(m/n), pilih kaedah (a^(1/n))^m (cari punca dahulu, kuasakan kemudian) berbanding (a^m)^(1/n) — ini menghasilkan nombor yang lebih kecil dan lebih mudah dikira tanpa kalkulator.
Apabila menyelesaikan persamaan dengan pemboleh ubah pada indeks, kumpulkan semua sebutan kepada SATU asas yang sama di kedua-dua belah persamaan, kemudian samakan indeks dan selesaikan persamaan linear/kuadratik yang terhasil.
Sentiasa semak jawapan akhir dengan menggantikan nilai yang diperoleh (x, m, n, dll.) semula ke dalam persamaan ASAL untuk mengesahkan kedua-dua belah persamaan memberi nilai yang sama.
Untuk soalan penyelesaian masalah (cth kadar pertumbuhan, susut nilai, faedah simpanan), kenal pasti dahulu formula dalam bentuk indeks (cth T = 25(1.2)^m) dan kenal pasti pemboleh ubah yang diminta sebelum menggantikan nilai.
Ingat tanda kurung adalah PENTING semasa menggunakan kalkulator saintifik bagi asas negatif atau pecahan, dan semasa menulis a^(-n) untuk mengelak tersilap dengan -a^n.
Hafal turutan keempat-empat hukum indeks utama (pendaraban, pembahagian, kuasa, kuasa hasil darab/bahagi) berserta indeks sifar, negatif dan pecahan — ini sering digabungkan dalam SATU soalan permudahan atau persamaan dalam peperiksaan SPM.

Asas
Indeks
Eksponen
Tatatanda indeks
Hukum indeks
Indeks sifar
Indeks negatif
Indeks pecahan
Punca kuasa
Salingan
Faktor perdana
Persamaan indeks