Sukatan Kecenderungan Memusat — Nota JomSkor

Bab ini mengkaji sukatan kecenderungan memusat (mod, min dan median bagi data tak terkumpul dan jadual kekerapan, kesan perubahan data secara seragam dan tidak seragam terhadap mod/min/median, kewujudan dan kesan nilai ekstrem, penentuan ukuran yang paling sesuai untuk mewakili sesuatu set data).

Matematik · Tingkatan 2

Mod

Mod ialah nilai yang paling kerap berulang (kekerapan tertinggi) dalam suatu set data. Sesuatu set data BOLEH mempunyai DUA mod (bimodal) jika dua nilai mempunyai kekerapan tertinggi yang SAMA, atau TIADA mod jika semua nilai mempunyai kekerapan yang sama.

Mod = nilai dengan kekerapan TERTINGGI dalam set data

Median

Median ialah nilai TENGAH bagi suatu set data yang telah disusun mengikut TERTIB MENAIK (atau menurun). Bagi bilangan data GANJIL, median ialah nilai TUNGGAL di tengah. Bagi bilangan data GENAP, median ialah PURATA dua nilai di tengah-tengah.

Data ganjil: nilai di tengah-tengah selepas disusun | Data genap: purata dua nilai di tengah-tengah selepas disusun

Median bagi Jadual Kekerapan

Bagi data dalam jadual kekerapan, tentukan dahulu jumlah kekerapan (n). Jika n GANJIL, median ialah data pada kedudukan ke-(n+1)/2. Jika n GENAP, median ialah purata data pada kedudukan ke-(n/2) dan ke-(n/2+1), ditentukan menggunakan kekerapan TERKUMPUL untuk mengenal pasti nilai data pada kedudukan tersebut.

n ganjil: median = data ke-(n+1)/2 | n genap: median = purata data ke-(n/2) dan ke-(n/2+1)

Min

Min (purata) ialah jumlah SEMUA nilai data dibahagikan dengan BILANGAN data. Bagi data dalam jadual kekerapan: Min = [Hasil tambah (data x kekerapan)] / Jumlah kekerapan.

Min = Jumlah nilai data / Bilangan data

Nilai Ekstrem

Nilai ekstrem ialah nilai yang jauh terpencil daripada kebanyakan data lain dalam set yang sama (sangat kecil atau sangat besar). Kewujudan nilai ekstrem akan MEMPENGARUHI nilai MIN secara signifikan, tetapi TIDAK banyak mempengaruhi MEDIAN dan MOD.

Nilai ekstrem = nilai yang TERLALU KECIL atau TERLALU BESAR berbanding data lain dalam set yang sama

Kesan Perubahan Data Secara Seragam

Bagi set data berangka bukan kosong, transformasi ax+b dengan a≠0 mengekalkan kekerapan setiap nilai berbeza, maka nilai mod dipetakan dengan transformasi yang sama jika mod wujud. Min dan median juga menjadi a kali nilai asal tambah b; apabila a<0, tertib data terbalik tetapi kedudukan tengah kekal sepadan. Jika a=0, semua data menjadi b dan mod baharu ialah b walaupun set asal tidak mempunyai mod. Pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan.

Data baharu ax+b, a≠0: min dan median menjadi a×nilai asal+b; nilai mod juga dipetakan jika wujud | Pembahagian memerlukan pembahagi bukan sifar

Memilih Ukuran Kecenderungan Memusat yang Sesuai

Pilihan ukuran bergantung pada jenis data dan tujuan perbandingan, bukan jaminan bahawa min sentiasa paling tepat apabila tiada nilai ekstrem. Min menggunakan semua nilai berangka dan boleh sensitif kepada nilai ekstrem. Median lebih tahan perubahan magnitud nilai terpencil, tetapi masih boleh berubah jika tertib atau bilangan pemerhatian berubah. Mod sesuai untuk kategori nominal; median boleh digunakan bagi data ordinal yang mempunyai tertib, manakala min memerlukan nilai berangka yang bermakna.

Min: menggunakan semua nilai berangka | Median: pusat tertib yang lebih tahan nilai ekstrem | Mod: nilai atau kategori paling kerap

Contoh soalan

Nyatakan mod bagi set data 4, 5, 2, 3, 4, 4, 5.

Kira kekerapan setiap nilai: 4 muncul 3 kali (paling kerap), 5 muncul 2 kali, 2 dan 3 muncul 1 kali.
Mod = 4 (kekerapan tertinggi).

Contoh soalan

Tentukan median bagi data wang saku: RM5, RM8, RM3, RM7, RM5.

Susun mengikut tertib menaik: 3, 5, 5, 7, 8.
Bilangan data = 5 (ganjil), median = nilai di tengah-tengah.
Median = 5 (nilai ketiga).

Contoh soalan

Hitung min bagi jadual kekerapan: Penggunaan Internet (jam) 1,2,3,4,5 dengan Bilangan murid 2,6,11,7,9.

Hasil tambah (data x kekerapan) = (1x2)+(2x6)+(3x11)+(4x7)+(5x9) = 2+12+33+28+45 = 120.
Jumlah kekerapan = 2+6+11+7+9 = 35.
Min = 120/35 = 3.43 jam.

Contoh soalan

Set data wang saku: RM3, RM4, RM4, RM6, RM8. Hitung mod, median dan min. Kemudian gantikan RM8 dengan RM32 dan hitung semula ketiga-tiga ukuran. Apa kesimpulan tentang kesan nilai ekstrem?

Data asal: Mod=RM4, Median=RM4, Min=(3+4+4+6+8)/5=25/5=RM5.
Data baharu (RM32 ganti RM8): Mod=RM4 (tidak berubah), Median=RM4 (tidak berubah), Min=(3+4+4+6+32)/5=49/5=RM9.80 (berubah besar).
Dalam contoh ini, penggantian RM8 dengan RM32 meningkatkan min daripada RM5 kepada RM9.80, manakala median dan mod kekal RM4; keputusan contoh ini bukan jaminan bagi setiap perubahan data.

Contoh soalan

Jadual menunjukkan masa (minit) diambil 12 kumpulan murid: Masa 10,20,30,40 dengan Kekerapan 2,4,5,1. Tentukan median.

Jumlah kekerapan, n = 12 (genap).
Median = purata data ke-(12/2) dan ke-(12/2+1) = purata data ke-6 dan ke-7.
Kekerapan terkumpul: kedudukan 1-2 ialah masa 10, kedudukan 3-6 ialah masa 20, kedudukan 7-11 ialah masa 30.
Data ke-6 = 20, data ke-7 = 30.
Median = (20+30)/2 = 25 minit.

Terlupa menyusun data mengikut tertib menaik (atau menurun) SEBELUM menentukan median — median yang ditentukan daripada data yang TIDAK disusun akan menghasilkan jawapan yang SALAH.
Tersilap formula median bagi data GENAP — median data genap ialah PURATA dua nilai TENGAH, BUKAN salah satu daripada dua nilai itu sahaja.
Mengelirukan kedudukan data dengan NILAI data semasa mencari median dalam jadual kekerapan — formula (n+1)/2 atau n/2 memberikan KEDUDUKAN, bukan nilai median secara terus; perlu rujuk kekerapan terkumpul untuk dapatkan nilai sebenar.
Tersilap anggap min, median, mod semuanya terjejas SAMA RATA oleh nilai ekstrem — sebenarnya HANYA min yang banyak terjejas oleh nilai ekstrem; median dan mod biasanya kekal stabil.
Lupa bahawa Min = Hasil tambah (data x kekerapan) dibahagi JUMLAH KEKERAPAN (bukan bilangan kategori data) semasa mengira min daripada jadual kekerapan.
Menganggap semua operasi seragam sentiasa mengekalkan mod — transformasi ax+b dengan a≠0 memetakan min, median dan mod yang wujud, tetapi a=0 menjadikan semua data sama dan boleh mewujudkan mod baharu; pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Perubahan tidak seragam perlu dianalisis berdasarkan data sebenar.

Sentiasa SUSUN data mengikut tertib menaik sebagai langkah PERTAMA sebelum menentukan median, walaupun data sudah kelihatan tersusun dalam soalan.
Untuk median jadual kekerapan, bina senarai KEDUDUKAN TERKUMPUL (cth kedudukan 1-2 untuk nilai pertama, 3-6 untuk nilai kedua, dst.) untuk memudahkan pengesanan kedudukan median yang dikira.
Apabila set data mempunyai nilai ekstrem, pertimbangkan MEDIAN sebagai ukuran yang lebih mewakili keseluruhan data berbanding MIN.
Untuk soalan mengira min daripada jadual kekerapan, bina lajur tambahan (data x kekerapan) untuk setiap baris sebelum menjumlahkan — ini mengurangkan kesilapan pengiraan.
Untuk perubahan seragam, kenal pasti transformasi ax+b dan domainnya. Jika a≠0, min serta median dipetakan dengan transformasi itu dan mod yang wujud turut dipetakan; jika a=0, semua data menjadi b. Pembahagian memerlukan pembahagi bukan sifar.
Pilih ukuran mengikut jenis data dan tujuan: min menggunakan semua nilai berangka, median lebih tahan nilai ekstrem dan boleh digunakan bagi kategori ordinal yang berturutan, manakala mod sesuai bagi kategori nominal. Kehadiran atau ketiadaan nilai ekstrem sahaja tidak menjamin satu ukuran sentiasa paling tepat.

Sukatan kecenderungan memusat
Mod
Median
Min
Nilai ekstrem
Data tak terkumpul
Jadual kekerapan
Kekerapan
Kekerapan terkumpul