Transformasi Isometri — Nota JomSkor

Transformasi dan Kekongruenan

Transformasi melibatkan padanan satu-dengan-satu antara titik objek dan imej. Dua objek adalah KONGRUEN jika mempunyai bentuk DAN saiz yang sama (tanpa mengira orientasi). Translasi, pantulan, dan putaran adalah transformasi ISOMETRI kerana imej yang terhasil sentiasa kongruen dengan objek asal.

Transformasi = proses mengubah kedudukan/orientasi/saiz suatu objek; Isometri = transformasi yang imejnya KONGRUEN dengan objek

Translasi

Di bawah translasi, objek dan imej mempunyai bentuk, saiz, DAN orientasi yang SAMA (tidak berubah). Translasi dihuraikan dengan arah pergerakan (kanan/kiri/atas/bawah) dan jarak (bilangan unit), atau dengan vektor translasi.

Translasi = pemindahan SEMUA titik pada suatu satah mengikut arah yang SAMA dan jarak yang SAMA

Vektor Translasi dan Imej

Bagi vektor translasi (a,b): nilai a mewakili pergerakan SELARI paksi-x (positif=kanan, negatif=kiri); nilai b mewakili pergerakan SELARI paksi-y (positif=atas, negatif=bawah). Imej P'(x',y') = (x+a, y+b). Untuk mencari objek daripada imej: (x,y) = (x'-a, y'-b). Untuk mencari vektor translasi daripada objek dan imej: vektor = (x'-x, y'-y).

Vektor translasi = (a atas b); Imej P'(x+a, y+b) daripada objek P(x,y)

Pantulan

Pantulan ialah transformasi yang membalikkan semua titik pada suatu garis (paksi pantulan). Sifat imej pantulan: (i) objek dan imej berada di sebelah BERTENTANGAN paksi pantulan, (ii) jarak serenjang objek dan imej dari paksi pantulan adalah SAMA, (iii) bentuk dan saiz SAMA tetapi orientasi SONGSANG (imej cermin), (iv) titik PADA paksi pantulan tidak berubah kedudukan.

Pantulan pada paksi-x: (x,y) -> (x,-y) | Pantulan pada paksi-y: (x,y) -> (-x,y)

Putaran

Putaran memerlukan PUSAT putaran (titik pegun), SUDUT putaran, dan ARAH putaran (ikut jam/lawan jam) untuk dihuraikan selengkapnya. Sifat imej putaran: (i) bentuk, saiz, dan orientasi SAMA dengan objek, (ii) pusat putaran ialah titik PEGUN (tidak berubah), (iii) jarak setiap titik imej ke pusat putaran SAMA dengan jarak objek yang sepadan ke pusat putaran. Putaran 180 darjah ikut jam = putaran 180 darjah lawan jam (hasil sama).

Putaran 90 darjah lawan jam pada asalan: (x,y)->(-y,x) | Putaran 180 darjah: (x,y)->(-x,-y) | Putaran 270 darjah lawan jam (=90 darjah ikut jam): (x,y)->(y,-x)

Translasi, Pantulan, Putaran sebagai Isometri

KETIGA-TIGA jenis transformasi (translasi, pantulan, putaran) adalah ISOMETRI kerana imej yang terhasil SENTIASA kongruen (sama bentuk dan saiz) dengan objek asal, walaupun kedudukan dan/atau orientasi berubah. Bagi poligon kongruen, tertib huruf bucu/sudut MESTI berdasarkan bucu/sudut yang SEPADAN.

Isometri = transformasi yang menghasilkan imej KONGRUEN dengan objek

Simetri Putaran dan Peringkat Simetri Putaran

Sesuatu bentuk mempunyai simetri putaran jika bentuk itu menepati dirinya selepas diputarkan kurang daripada satu putaran lengkap. Peringkat simetri putaran ialah bilangan kali bentuk menepati dirinya dalam satu putaran lengkap, termasuk kedudukan asal. Peringkat ini tidak semestinya sama dengan bilangan paksi simetri: segi empat sama mempunyai peringkat empat dan empat paksi simetri, tetapi segi empat selari yang bukan segi empat tepat atau rombus mempunyai peringkat dua dan tiada paksi simetri.

Peringkat simetri putaran = bilangan kali bentuk menepati dirinya sendiri dalam SATU putaran lengkap (360 darjah)

Contoh soalan

Tentukan koordinat bagi imej titik Q(3,1) di bawah translasi vektor (-5 atas 2).

• Imej Q'(x+a, y+b) = Q'(3+(-5), 1+2).
• = Q'(-2, 3).

Contoh soalan

Diberi P'(3,6) ialah imej kepada P(2,9). Tentukan vektor translasi tersebut.

• Vektor translasi = (x'-x, y'-y).
• = (3-2, 6-9) = (1, -3).

Contoh soalan

Tentukan koordinat imej bagi titik (4,1) di bawah pantulan pada paksi-y.

• Pantulan pada paksi-y: (x,y) -> (-x,y).
• Imej = (-4, 1).

Contoh soalan

Tentukan imej bagi segi tiga PQR dengan bucu A(1,1), B(1,5), C(4,5) apabila diputar 90 darjah lawan arah jam pada asalan O.

• Rumus putaran 90 darjah lawan jam pada asalan: (x,y) -> (-y,x).
• A(1,1) -> A'(-1,1).
• B(1,5) -> B'(-5,1).
• C(4,5) -> C'(-5,4).

Contoh soalan

Dalam rajah, ABCD ialah imej bagi PQCS di bawah suatu isometri. Diberi DCS ialah garis lurus dan sudut BCQ=50 darjah (sudut bahagian PQCS yang lain ialah 90,90,65 darjah). Hitung sudut PQC.

• Sudut QCS = 180 darjah - 50 darjah / 2 = 130/2 = 65 darjah (sudut pelengkap pada garis lurus DCS, dibahagi mengikut kongruenan).
• Hasil tambah sudut sisi empat PQCS = 360 darjah.
• Sudut PQC = 360 - 90 - 90 - 65 = 115 darjah.