Graf Fungsi — Nota JomSkor

Bab ini mengkaji fungsi (definisi fungsi, jenis hubungan: satu kepada satu/banyak kepada satu/satu kepada banyak/banyak kepada banyak, perwakilan fungsi dengan rajah anak panah/graf/pasangan tertib/persamaan, tatatanda fungsi) serta graf fungsi (membina jadual nilai, melukis graf fungsi linear dan bukan linear: kuadratik/kubik/salingan, mentafsir graf fungsi, penyelesaian masalah).

Matematik · Tingkatan 2

Definisi Fungsi

Fungsi merupakan hubungan setiap input mempunyai hanya satu output. Hubungan boleh diwakili menggunakan rajah anak panah, graf, atau pasangan tertib.

Fungsi = hubungan di mana setiap input/objek mempunyai HANYA SATU output/imej

Jenis Hubungan yang Menghasilkan Fungsi

HUBUNGAN SATU KEPADA SATU: setiap objek dalam domain mempunyai hanya SATU imej, dan setiap imej hanya berkaitan dengan SATU objek. HUBUNGAN BANYAK KEPADA SATU: lebih daripada satu objek dihubungkan dengan imej yang SAMA. Kedua-dua jenis ini ADALAH fungsi.

Satu kepada satu | Banyak kepada satu

Jenis Hubungan yang BUKAN Fungsi

HUBUNGAN SATU KEPADA BANYAK: satu objek dalam domain mempunyai LEBIH DARI SATU imej. HUBUNGAN BANYAK KEPADA BANYAK: sekurang-kurangnya satu objek mempunyai lebih dari satu imej DAN lebih dari satu objek mempunyai imej yang sama. Kedua-dua jenis ini BUKAN fungsi.

Satu kepada banyak | Banyak kepada banyak

Domain, Kodomain, Imej dan Julat

Bagi fungsi f yang memetakan set P (domain) kepada set Q (kodomain), unsur dalam Q yang dihubungkan kepada objek dalam P dinamakan IMEJ. Julat fungsi ialah set imej yang sebenarnya terhasil (subset daripada kodomain, mungkin tidak meliputi semua unsur kodomain).

Domain = set objek/input | Kodomain = set yang mengandungi semua imej yang mungkin | Julat = set imej yang SEBENARNYA terhasil

Tatatanda Fungsi

Fungsi yang memetakan x kepada y ditulis menggunakan tatatanda fungsi f(x). Contoh: jika y=x+3, fungsi ditulis sebagai f(x)=x+3 atau f: x -> x+3.

f: x -> f(x) atau f(x) = ungkapan dalam x

Membina Jadual Nilai

Sebelum melukis graf fungsi, bina jadual nilai dengan menggantikan setiap nilai x yang diberi ke dalam persamaan fungsi untuk mendapatkan pasangan tertib (x,y) yang sepadan.

Gantikan setiap nilai x ke dalam fungsi untuk dapatkan nilai y yang sepadan

Jenis-jenis Graf Fungsi

Graf y=mx+c ialah garis lurus; apabila m≠0, fungsi mempunyai darjah satu, manakala m=0 memberikan garis mengufuk pemalar. Fungsi kuadratik y=ax²+bx+c dengan a≠0 menghasilkan parabola. Bentuk kubik y=ax³+c dengan a≠0 menghasilkan lengkung berbentuk S; ini ialah bentuk kubik khusus dan bukannya senarai semua polinomial kubik. Fungsi salingan y=a/x dengan a≠0 dan x≠0 menghasilkan hiperbola. Graf y=a/x² dengan a≠0 juga tidak tertakrif pada x=0 tetapi bukan hiperbola konik: dua cabangnya mempunyai tanda y yang sama, manakala y=a/x mempunyai tanda y bertentangan pada sisi x berbeza.

Linear: y=mx+c (garis lurus) | Kuadratik: y=ax²+bx+c, a≠0 (parabola) | Bentuk kubik y=ax³+c, a≠0 (lengkung S) | Salingan y=a/x, a≠0 dan x≠0 (hiperbola)

Langkah Melukis Graf Fungsi

Untuk graf fungsi LINEAR, sambungkan titik dengan garis lurus menggunakan pembaris. Untuk graf fungsi BUKAN LINEAR (kuadratik/kubik/salingan), sambungkan titik dengan lengkung yang LICIN (tidak menggunakan garis lurus bersudut tajam).

1) Bina jadual nilai 2) Lukis paksi dengan skala diberi 3) Plot titik (x,y) 4) Sambung titik dengan garis lurus/lengkung licin

Mentafsir dan Menyelesaikan Masalah Graf Fungsi

Daripada graf yang dilukis, nilai y boleh ditentukan dengan melukis garis mencancang dari paksi-x ke graf, kemudian garis mengufuk ke paksi-y (atau sebaliknya untuk mencari x daripada y). Titik PERSILANGAN dua graf fungsi mewakili PENYELESAIAN SERENTAK bagi kedua-dua fungsi tersebut.

Baca nilai y daripada nilai x (atau sebaliknya) terus daripada graf; titik persilangan dua graf = penyelesaian serentak

Contoh soalan

Diberi set P={1,2,3} dan set Q={4,5,6}. Fungsi f memetakan set P kepada set Q ialah menambah 3. Wakilkan hubungan ini sebagai pasangan tertib dan persamaan.

Pasangan tertib: {(1,4), (2,5), (3,6)}.
Persamaan: y = x + 3 atau f(x) = x + 3.

Contoh soalan

Tentukan sama ada set pasangan tertib R={(1,6),(2,5),(1,9),(4,3)} ialah fungsi.

Periksa setiap objek (nilai pertama): objek 1 muncul DUA kali dengan imej berbeza (6 dan 9).
Oleh kerana satu objek (1) mempunyai LEBIH DARI SATU imej, R BUKAN fungsi (hubungan satu kepada banyak).

Contoh soalan

Lengkapkan jadual nilai bagi fungsi y=2x+4 untuk x=-2,-1,0,1,2,3.

x=-2: y=2(-2)+4=0. x=-1: y=2(-1)+4=2. x=0: y=4.
x=1: y=6. x=2: y=8. x=3: y=10.
Jadual: x:-2,-1,0,1,2,3 | y:0,2,4,6,8,10.

Contoh soalan

Lengkapkan jadual nilai bagi fungsi y=12-x^3 untuk x=-2,1,2.

x=-2: y=12-(-2)^3=12-(-8)=20.
x=1: y=12-(1)^3=12-1=11.
x=2: y=12-(2)^3=12-8=4.

Contoh soalan

Graf fungsi y=6+x-x^2 mewakili lompatan Jibam dan y=2x mewakili pergerakan batu yang dibaling ke arahnya. Titik maksimum lompatan ialah (0.5, 6.25) dan titik persilangan kedua graf ialah (2,4). Tentukan (a) ketinggian maksimum lompatan, (b) saat batu mengenai Jibam, (c) saat Jibam menyentuh tanah jika y=0 pada x=3.

(a) Ketinggian maksimum = nilai y pada titik maksimum graf y=6+x-x^2 = 6.25 meter.
(b) Saat batu mengenai Jibam = nilai x pada titik persilangan dua graf = saat ke-2.
(c) Jibam menyentuh tanah apabila y=0 pada graf y=6+x-x^2, iaitu pada saat ke-3.

Tersilap anggap hubungan banyak kepada satu BUKAN fungsi — sebenarnya hubungan SATU kepada satu DAN BANYAK kepada satu KEDUA-DUANYA adalah fungsi; hanya hubungan yang melibatkan SATU OBJEK dengan BANYAK imej yang bukan fungsi.
Mengelirukan kodomain dengan julat — kodomain ialah SET KESELURUHAN unsur yang BOLEH menjadi imej, julat ialah set imej yang SEBENARNYA terhasil (julat adalah subset kodomain, mungkin lebih kecil).
Tersilap mengenal pasti jenis fungsi daripada bentuk graf — graf garis lurus=linear, parabola=kuadratik, lengkung S=kubik, hiperbola (dua cabang berasingan)=salingan.
Menyambung titik pada graf fungsi BUKAN LINEAR (kuadratik/kubik/salingan) dengan garis LURUS bersudut tajam — sambungan WAJIB menggunakan lengkung yang LICIN untuk fungsi bukan linear.
Lupa bahawa fungsi salingan y=a/x TIDAK TERTAKRIF apabila x=0 — graf hiperbola tidak akan menyentuh atau melalui paksi-y pada titik (0, sebarang nilai).
Tersilap membaca nilai daripada graf — semasa mencari nilai y daripada x (atau sebaliknya), pastikan garis bantuan (mencancang/mengufuk) dilukis dengan tepat pada nilai yang betul sebelum membaca nilai pada paksi yang lain.

Sebelum mengenal pasti jenis hubungan (fungsi atau bukan), semak SETIAP objek dalam domain — pastikan TIDAK ADA satu objek pun yang mempunyai lebih daripada satu imej.
Apabila membina jadual nilai, gunakan kalkulator untuk pengiraan pantas dan tepat, terutama bagi fungsi kuadratik/kubik yang melibatkan kuasa.
Sentiasa rujuk skala paksi-x dan paksi-y yang diberi dalam soalan SEBELUM melukis graf — skala yang tidak konsisten akan menghasilkan graf yang tidak tepat.
Untuk fungsi bukan linear, plot SEKURANG-KURANGNYA 5-6 titik supaya bentuk lengkung (parabola/kubik/hiperbola) dapat dilukis dengan licin dan tepat.
Apabila mentafsir graf, titik PERSILANGAN dua graf memberikan PENYELESAIAN SERENTAK — ini sering digunakan dalam soalan penyelesaian masalah membandingkan dua situasi (cth simpanan dua orang, jarak dua kenderaan).
Untuk soalan ramalan/inferens daripada graf, perhatikan TREND keseluruhan graf (menaik/menurun/maksimum/minimum) untuk membuat kesimpulan yang munasabah.

Fungsi
Domain
Kodomain
Imej
Julat
Hubungan
Pasangan tertib
Tatatanda fungsi
Fungsi linear
Fungsi kuadratik
Fungsi kubik
Fungsi salingan
Parabola
Hiperbola
Jadual nilai