Koordinat — Nota JomSkor

Bab ini mengkaji jarak dalam sistem koordinat Cartes (jarak dua titik dengan koordinat-x atau koordinat-y sama, rumus jarak teorem Pythagoras, penyelesaian masalah), titik tengah dalam sistem koordinat Cartes (maksud titik tengah, rumus dan penentuan koordinat titik tengah, penyelesaian masalah), serta sistem koordinat Cartes (menyelesaikan masalah melibatkan jarak dan titik tengah serentak).

Matematik · Tingkatan 2

Satah Cartes, Paksi-x, Paksi-y dan Asalan

Satah Cartes terdiri daripada dua garis nombor berserenjang: paksi-x (mengufuk/horizontal) dan paksi-y (mencancang/vertikal), bersilang pada ASALAN (0, 0). Koordinat suatu titik ditulis sebagai (x, y) — nilai x ditulis dahulu, diikuti nilai y.

Koordinat (x, y); Asalan = (0, 0)

Jarak Dua Titik dengan Koordinat Sama

Jika dua titik mempunyai koordinat-y yang SAMA (garis selari paksi-x), jaraknya ialah beza nilai koordinat-x. Jika dua titik mempunyai koordinat-x yang SAMA (garis selari paksi-y), jaraknya ialah beza nilai koordinat-y.

Koordinat-y sama: Jarak = |x2 - x1| | Koordinat-x sama: Jarak = |y2 - y1|

Rumus Jarak Dua Titik (Umum)

Jika garis yang menyambungkan dua titik TIDAK selari dengan paksi-x atau paksi-y, jarak ditentukan menggunakan Teorem Pythagoras (jarak ialah hipotenus segi tiga bersudut tegak yang dibentuk oleh jarak mengufuk dan jarak mencancang antara kedua titik itu).

Jarak AB = akar[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]

Penyelesaian Masalah Melibatkan Jarak

Bagi soalan melibatkan perimeter/bentuk geometri pada satah Cartes, kira jarak setiap sisi menggunakan rumus jarak, kemudian jumlahkan. Jika diberi jarak dan diminta cari pemboleh ubah (cth nilai v dalam koordinat), gantikan ke dalam rumus jarak dan selesaikan persamaan.

Kenal pasti koordinat, gunakan rumus jarak, selesaikan persamaan jika ada pemboleh ubah tidak diketahui

Titik Tengah Dua Titik

Titik tengah ialah titik yang membahagi dua sama suatu tembereng garis. Koordinat-x titik tengah ialah purata koordinat-x kedua-dua titik hujung; koordinat-y titik tengah ialah purata koordinat-y kedua-dua titik hujung.

Titik tengah = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)

Penyelesaian Masalah Melibatkan Titik Tengah

Jika koordinat titik tengah dan satu titik hujung diberi, gunakan rumus titik tengah untuk membentuk persamaan dan selesaikan koordinat titik hujung yang satu lagi (cth diberi P=titik tengah KL dan K, selesaikan untuk L).

Gantikan nilai diketahui ke dalam rumus titik tengah, selesaikan untuk pemboleh ubah tidak diketahui

Contoh soalan

Hitung jarak di antara titik (2, -3) dan (4, -3).

Koordinat-y sama (-3), maka jarak = |x2-x1|.
= |4-2| = 2 unit.

Contoh soalan

Hitung jarak di antara titik A(1,7) dan B(5,1).

Jarak AB = akar[(5-1)^2+(1-7)^2].
= akar[4^2+(-6)^2] = akar[16+36] = akar52.
= 7.21 unit.

Contoh soalan

Diberi jarak AB=10 unit, dengan A(v,3) dan B(6,9). Hitung nilai v.

Jarak AB=10 memberikan 100=(6-v)^2+(9-3)^2, maka (6-v)^2=64.
Oleh itu 6-v=8 atau 6-v=-8, memberikan v=-2 atau v=14.
Kedua-duanya memenuhi jarak asal: perubahan mengufuk bermagnitud 8 dan perubahan mencancang 6, maka √(64+36)=10.
Tanpa syarat kedudukan tambahan, kedua-dua nilai sah; pemilihan hanya satu tanda menyingkirkan penyelesaian.

Contoh soalan

Hitung koordinat titik tengah bagi garis lurus AB dengan A(2,5) dan B(2,1).

Titik tengah = ((2+2)/2, (5+1)/2).
= (4/2, 6/2) = (2, 3).

Contoh soalan

Titik P ialah titik tengah bagi garis lurus KL. Diberi koordinat K(-3,12) dan koordinat P(2,9). Hitung koordinat L.

Titik tengah P = ((-3+x2)/2, (12+y2)/2) = (2, 9).
(-3+x2)/2 = 2 -> -3+x2=4 -> x2=7.
(12+y2)/2 = 9 -> 12+y2=18 -> y2=6.
Maka, koordinat L ialah (7, 6).

Tersilap susunan koordinat (x,y) — nilai x WAJIB ditulis dahulu, diikuti nilai y; songsangkan susunan ini akan menghasilkan titik yang berbeza sepenuhnya.
Cuba menggunakan rumus jarak ringkas |x2-x1| atau |y2-y1| walaupun kedua-dua koordinat-x DAN koordinat-y berbeza — rumus ringkas ini HANYA sah jika satu pasangan koordinat adalah SAMA.
Tersilap tanda (positif/negatif) semasa menggantikan koordinat negatif ke dalam rumus jarak atau titik tengah — gunakan kurungan untuk mengelakkan kesilapan tanda, terutama semasa menguasakan duakan nombor negatif.
Menganggap jarak boleh negatif atau mesti sentiasa positif — jarak ialah magnitud bukan negatif; dua titik berbeza mempunyai jarak positif, manakala titik yang bertepatan mempunyai jarak sifar.
Dalam soalan mencari titik hujung yang tidak diketahui (diberi titik tengah dan satu titik hujung), tersilap menggunakan rumus jarak dan bukan rumus titik tengah, atau sebaliknya — kenal pasti dahulu maklumat yang diberi sebelum memilih rumus yang sesuai.
Membundarkan jarak terlalu awal atau menggunakan ketepatan yang tidak diminta — kekalkan bentuk tepat atau nilai perantaraan penuh, kemudian bundarkan jawapan akhir mengikut arahan soalan.

Sebelum menggunakan rumus jarak penuh (Teorem Pythagoras), semak dahulu sama ada koordinat-x atau koordinat-y kedua-dua titik adalah SAMA — jika ya, gunakan kaedah ringkas (beza terus).
Lukis sketsa pantas pada satah Cartes (atau bayangkan kedudukan titik) untuk membantu mengesahkan jawapan jarak/titik tengah munasabah secara visual.
Apabila menyelesaikan persamaan yang melibatkan punca kuasa dua (cth dari rumus jarak), kuasa-duakan kedua-dua belah persamaan dahulu untuk menghapuskan tanda punca sebelum menyelesaikan pemboleh ubah.
Untuk soalan gabungan (jarak DAN titik tengah dalam satu soalan), selesaikan satu bahagian pada satu masa — selesaikan titik yang tidak diketahui dahulu (jika perlu) sebelum mengira jarak/titik tengah yang diminta.
Sentiasa label dengan jelas (x1,y1) dan (x2,y2) bagi setiap titik sebelum menggantikan ke dalam rumus — ini mengurangkan kekeliruan terutama dalam soalan dengan banyak pemboleh ubah.
Semak jawapan akhir dengan menggantikannya semula ke dalam rumus asal (jarak atau titik tengah) untuk pastikan konsisten dengan maklumat yang diberi dalam soalan.

Koordinat
Satah Cartes
Paksi-x
Paksi-y
Asalan
Jarak
Titik tengah
Hipotenus
Skala