Pemfaktoran dan Pecahan Algebra — Nota JomSkor

Kembangan Ungkapan Algebra

Kembangan bermaksud hasil pendaraban satu atau dua ungkapan dalam kurungan. Setiap sebutan dalam tanda kurungan MESTI didarabkan dengan sebutan di luar kurungan. Untuk DUA ungkapan, setiap sebutan dalam kurungan pertama didarabkan dengan SETIAP sebutan dalam kurungan kedua, cth (a+2)(a+1)=a(a+1)+2(a+1)=a^2+3a+2.

a(b+c) = ab + ac (Hukum Kalis Agihan)

Identiti Pemfaktoran/Kembangan Penting

Tiga identiti algebra penting yang kerap digunakan: kuasa dua sempurna penambahan, kuasa dua sempurna penolakan, dan beza dua kuasa dua. PERHATIAN: (a+b)(a-b)=a^2-b^2 TETAPI (a+b)^2 TIDAK SAMA dengan a^2+b^2, dan (a-b)^2 TIDAK SAMA dengan a^2-b^2 — sebutan silang 2ab mesti disertakan.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 | (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 | (a+b)(a-b)=a^2-b^2

Faktor, Faktor Sepunya dan FSTB

Faktor sepunya ialah faktor yang boleh membahagi tepat dua atau lebih sebutan algebra. Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) ialah faktor sepunya yang TERBESAR. 1 ialah faktor bagi semua sebutan algebra. FSTB boleh ditentukan dengan kaedah pembahagian berulang.

FSTB = faktor TERBESAR yang sepunya antara dua atau lebih sebutan

Pemfaktoran Menggunakan FSTB

Pemfaktoran ialah proses SONGSANGAN kepada kembangan — mengenal pasti faktor sebutan/ungkapan algebra yang apabila didarabkan menghasilkan ungkapan asal. Cari FSTB bagi semua sebutan, kemudian keluarkan FSTB itu di luar kurungan.

ax + ay = a(x+y)

Pemfaktoran Beza Dua Kuasa Dua Sempurna

Kaedah ini HANYA boleh digunakan jika ungkapan adalah BEZA (tolak) antara dua sebutan yang KEDUA-DUANYA kuasa dua sempurna (cth x^2-4=(x+2)(x-2)). Tidak boleh digunakan untuk HASIL TAMBAH dua kuasa dua (x^2+y^2 tidak boleh difaktorkan dengan kaedah ini).

x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)

Pemfaktoran dengan Pendaraban Silang (ax^2+bx+c)

Kenal pasti pekali a, b dan c. Untuk kaedah pemecahan sebutan tengah, cari dua nombor dengan hasil darab ac dan hasil tambah b, kemudian tulis semula bx menggunakan dua nombor itu dan faktorkan secara pengumpulan. Apabila a=1, hasil darab ac sama dengan c. Contohnya, 2x²+x−3 menggunakan nombor 3 dan −2 kerana hasil darabnya −6 dan hasil tambahnya 1, lalu 2x²+3x−2x−3=(2x+3)(x−1). Kaedah ini memerlukan pasangan yang sesuai dalam nombor yang digunakan; bukan semua kuadratik boleh difaktorkan dengan pekali integer.

Bagi ax²+bx+c, cari dua nombor dengan hasil darab ac dan hasil tambah b untuk memecahkan sebutan tengah; faktorkan secara pengumpulan atau gunakan pendaraban silang.

Pemfaktoran Faktor Sepunya dalam Empat Sebutan

Bagi ungkapan dengan EMPAT sebutan, kumpulkan sebutan yang mempunyai faktor sepunya ke dalam SATU kurungan (dua sebutan setiap kurungan), keluarkan faktor sepunya setiap kurungan, kemudian keluarkan faktor sepunya yang BAKI (iaitu kurungan yang sama) sekali lagi.

ab+ac+bd+cd = a(b+c)+d(b+c) = (b+c)(a+d)

Menambah/Menolak Pecahan Algebra

Jika penyebut SAMA, terus tambah/tolak pengangka di atas penyebut yang sama. Jika penyebut TIDAK SAMA, cari Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK) bagi kedua-dua penyebut, samakan penyebut, kemudian tambah/tolak pengangka.

Penyebut sama: terus tambah/tolak pengangka | Penyebut tak sama: samakan penyebut dahulu menggunakan GSTK

Mendarab/Membahagi Pecahan Algebra

Untuk mendarab/membahagi ungkapan algebra (terutama pecahan), FAKTORKAN dahulu pengangka dan penyebut sepenuhnya, kemudian mansuhkan (batalkan) faktor sepunya pada pengangka dan penyebut sebelum mendarab/membahagi selebihnya. Untuk pembahagian, tukar kepada pendaraban dengan SALINGAN (terbalikkan) pecahan pembahagi.

Faktorkan dahulu pengangka dan penyebut, kemudian mansuhkan faktor sepunya

Contoh soalan

Kembangkan (3r + 4s)(r - 2s).

• = 3r(r-2s) + 4s(r-2s).
• = 3r^2 - 6rs + 4sr - 8s^2.
• = 3r^2 - 2rs - 8s^2 (gabungkan sebutan serupa -6rs+4sr).

Contoh soalan

Faktorkan x^2 - 6x + 9.

• Cari dua nombor dengan hasil darab=9 dan hasil tambah=-6: -3 dan -3.
• x^2 - 6x + 9 = (x-3)(x-3).

Contoh soalan

Faktorkan ab + ac + bd + cd.

• Kumpulkan: (ab+ac) + (bd+cd).
• = a(b+c) + d(b+c).
• Keluarkan faktor sepunya (b+c): = (b+c)(a+d).

Contoh soalan

Luas sebuah padang bola sepak ialah (4x^2+16x) m^2 dan lebarnya ialah 4x m. Dua kawasan ditenggelami air berbentuk segi tiga bersudut tegak yang sama saiz dengan tapak 2x dan tinggi (x+4). Berapakah luas kawasan yang tidak ditenggelami air?

• Panjang padang = luas/lebar = (4x^2+16x)/4x = 4x(x+4)/4x = (x+4) m.
• Luas dua segi tiga = 2 x [1/2 x 2x x (x+4)] = 2x^2 + 8x.
• Luas tidak ditenggelami = (4x^2+16x) - (2x^2+8x) = 2x^2 + 8x m^2.

Contoh soalan

Permudah 1/(4p) + 4/(6p).

• GSTK bagi 4p dan 6p ialah 12p.
• = 3/(12p) + 8/(12p).
• = 11/(12p).