Teorem Pythagoras — Nota JomSkor

Bab ini mengkaji teorem Pythagoras (mengenal pasti hipotenus sebagai sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut tegak, hubungan c^2=a^2+b^2 antara sisi segi tiga bersudut tegak, menentukan panjang sisi tidak diketahui bagi segi tiga bersudut tegak dan gabungan bentuk geometri, menyelesaikan masalah harian) serta akas teorem Pythagoras (menentukan sama ada suatu segi tiga adalah segi tiga bersudut tegak berdasarkan perbandingan c^2 dengan a^2+b^2, menyelesaikan masalah yang melibatkan akas teorem ini).

Matematik · Tingkatan 1

Hipotenus

Dalam sebuah segi tiga bersudut tegak, sisi yang terpanjang SENTIASA bertentangan dengan sudut tegak (90 darjah) dan dinamakan hipotenus. Sisi-sisi lain (yang membentuk sudut tegak itu) bukan hipotenus.

Hipotenus = sisi TERPANJANG yang bertentangan dengan sudut tegak

Teorem Pythagoras

Dalam sebuah segi tiga bersudut tegak, kuasa dua panjang hipotenus adalah SAMA dengan hasil tambah kuasa dua panjang dua sisi yang lain. Secara geometri: luas segi empat sama pada hipotenus = jumlah luas segi empat sama pada dua sisi yang lain.

c^2 = a^2 + b^2 (c = hipotenus, a dan b = dua sisi lain)

Mencari Panjang Sisi Tidak Diketahui

Jika hipotenus yang dicari, tambah kuasa dua dua sisi yang diketahui kemudian akarkan. Jika SISI LAIN (bukan hipotenus) yang dicari, TOLAK kuasa dua sisi yang diketahui daripada kuasa dua hipotenus, kemudian akarkan (c^2 - b^2 = a^2). Teorem Pythagoras juga boleh digunakan untuk gabungan beberapa bentuk geometri secara berturutan (cari satu sisi, gunakan untuk segi tiga seterusnya).

Hipotenus: c = akar(a^2+b^2) | Sisi tirus: a = akar(c^2-b^2)

Trirangkap Pythagoras

Trirangkap Pythagoras ialah tiga integer positif a, b dan c yang memenuhi c²=a²+b². Contohnya (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) serta (9,40,41). Ketiga-tiganya mewakili panjang sisi segi tiga bersudut tegak, dengan c hipotenus. Panjang bukan integer yang memenuhi hubungan Pythagoras masih boleh membentuk segi tiga bersudut tegak, tetapi bukan trirangkap integer Pythagoras.

Tiga integer positif a, b, c yang memenuhi c²=a²+b².

Akas Teorem Pythagoras

Akas teorem Pythagoras membolehkan kita MENENTUKAN sama ada suatu segi tiga adalah segi tiga bersudut tegak, dengan membandingkan kuasa dua sisi terpanjang (c^2) dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi lain (a^2+b^2): jika c^2=a^2+b^2, sudut bertentangan c ialah sudut TEGAK; jika c^2<a^2+b^2, sudut itu ialah sudut TIRUS; jika c^2>a^2+b^2, sudut itu ialah sudut CAKAH.

Jika c^2 = a^2+b^2, maka sudut bertentangan sisi c ialah sudut TEGAK (90 darjah)

Menyelesaikan Masalah dengan Teorem Pythagoras dan Akasnya

Bagi masalah harian (cth tangga bersandar pada dinding, jarak antara dua kapal, panjang tali), lukis dahulu segi tiga bersudut tegak yang mewakili maklumat yang diberi, kenal pasti hipotenus dan dua sisi lain, kemudian gunakan teorem Pythagoras (jika perlu cari panjang sisi) atau akas teorem Pythagoras (jika perlu sahkan sama ada sudut itu tegak).

Lukis segi tiga bersudut tegak untuk mewakili maklumat, kemudian gunakan teorem atau akasnya

Contoh soalan

Dalam sebuah segi tiga bersudut tegak, dua sisi pendek ialah 12 cm dan 16 cm. Cari panjang hipotenus, x.

x^2 = 12^2 + 16^2.
x^2 = 144 + 256 = 400.
x = akar 400 = 20 cm.

Contoh soalan

Dalam sebuah segi tiga bersudut tegak, hipotenus ialah 26 cm dan satu sisi lain ialah 24 cm. Cari panjang sisi yang tidak diketahui, x.

26^2 = x^2 + 24^2.
x^2 = 26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100.
x = akar 100 = 10 cm.

Contoh soalan

Seorang ahli bomba menaiki tangga untuk menyelamatkan kanak-kanak di tingkat yang kedudukannya 6 m dari tanah mengufuk. Kaki tangga dari dinding bangunan ialah 4.5 m. Berapakah panjang tangga itu?

Lukis segi tiga bersudut tegak PQR dengan PQ=4.5m (mengufuk), QR=6m (menegak), PR=tangga (hipotenus).
PR^2 = PQ^2 + QR^2 = 4.5^2 + 6^2 = 20.25 + 36 = 56.25.
PR = akar 56.25 = 7.5 m.
Panjang tangga ialah 7.5 m.

Contoh soalan

Tentukan sama ada segi tiga dengan sisi 18 cm, 24 cm dan 30 cm (sisi terpanjang) ialah segi tiga bersudut tegak atau bukan.

Sisi terpanjang = 30 cm. 30^2 = 900.
18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900.
Kerana 30^2 = 18^2 + 24^2, maka segi tiga itu ADALAH segi tiga bersudut tegak (mengikut akas teorem Pythagoras).

Contoh soalan

Dalam rajah, PVRQ dan RUTS ialah segi empat sama dengan VR=12cm dan RU=16cm. Hitung perimeter seluruh rajah (VU ialah hipotenus segi tiga VRU).

VU^2 = VR^2 + RU^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400.
VU = akar 400 = 20 cm.
Perimeter seluruh rajah = 20 + 16 + 16 + 16 + 12 + 12 + 12 = 104 cm.

Tersilap kenal pasti hipotenus — hipotenus MESTI sisi TERPANJANG yang bertentangan dengan sudut TEGAK, bukan sebarang sisi yang kelihatan panjang dalam rajah yang tidak dilukis mengikut skala.
Tersilap operasi apabila mencari sisi BUKAN hipotenus — mesti TOLAK (c^2-b^2=a^2), bukan tambah, kerana hipotenus adalah sisi terpanjang.
Lupa mengakarkan kuasa dua di langkah akhir — selepas mengira a^2+b^2 atau c^2-b^2, jawapan itu masih kuasa dua, perlu diakarkan untuk dapat panjang sisi sebenar.
Mengelirukan teorem Pythagoras (untuk MENGIRA panjang sisi dalam segi tiga bersudut tegak yang DIKETAHUI) dengan akas teorem Pythagoras (untuk MENENTUKAN sama ada segi tiga itu bersudut tegak atau tidak) — dua tujuan berbeza.
Dalam soalan akas teorem, terlupa kenal pasti SISI TERPANJANG dahulu sebelum membandingkan c^2 dengan a^2+b^2 — jika sisi yang salah digunakan sebagai c, perbandingan akan tersilap.
Tidak membundarkan jawapan kepada bilangan tempat perpuluhan yang diminta (biasanya 2 tempat perpuluhan) apabila akar kuasa dua tidak menghasilkan nombor bulat.

Sentiasa lukis atau kenal pasti segi tiga bersudut tegak dalam rajah dahulu, kemudian labelkan hipotenus dengan jelas sebelum menggunakan sebarang rumus.
Hafal beberapa trirangkap Pythagoras biasa (3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 9,40,41) untuk mempercepat pengiraan tanpa perlu mengira akar kuasa dua secara manual.
Untuk soalan gabungan bentuk geometri (beberapa segi tiga bersambung), selesaikan SATU segi tiga pada satu masa — nilai yang diperoleh daripada segi tiga pertama selalunya digunakan sebagai input untuk segi tiga kedua.
Untuk soalan akas teorem Pythagoras, kira c^2 dan a^2+b^2 secara BERASINGAN dahulu, kemudian bandingkan — ini mengelakkan kesilapan pengiraan bercampur.
Untuk soalan jarak (kapal, lokasi, dll.), lukis gambar rajah mudah dengan arah (utara/selatan/timur/barat) sebagai sisi segi tiga bersudut tegak sebelum mengaplikasikan teorem Pythagoras.
Gunakan fungsi kalkulator (akar kuasa dua, kuasa dua) untuk pengiraan yang melibatkan nombor perpuluhan supaya jawapan tepat kepada tempat perpuluhan yang diminta.

Hipotenus
Teorem Pythagoras
Trirangkap Pythagoras
Akas teorem Pythagoras
Sudut tirus
Sudut cakah
Sudut tegak