Ketaksamaan Linear — Nota JomSkor

Bab ini mengkaji ketaksamaan (membanding nilai nombor dengan simbol < dan >, memerihal dan menerbitkan ketaksamaan algebra, simbol <= dan >=, sifat akas dan transitif, kesan operasi asas aritmetik termasuk songsangan terhadap penambahan dan pendaraban ke atas ketaksamaan), serta ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah (membentuk ketaksamaan daripada situasi, menyelesaikan ketaksamaan linear, menyelesaikan ketaksamaan linear serentak).

Matematik · Tingkatan 1

Simbol Ketaksamaan

Ketaksamaan membandingkan dua kuantiti melalui hubungan tertib. Simbol < dan > menyatakan perbandingan ketat yang mengecualikan persamaan. Simbol <= dan >= membenarkan nilai yang sama pada sempadan: <= bermaksud kurang daripada atau sama dengan, manakala >= bermaksud lebih besar daripada atau sama dengan.

< (kurang daripada) | > (lebih besar daripada) | <= (kurang/sama dengan) | >= (lebih besar/sama dengan)

Sifat Akas Ketaksamaan

Sifat akas membenarkan ketaksamaan ditulis semula dengan menukar susunan dan menyongsangkan simbol. Contoh: 10 < 24, maka 24 > 10.

Jika a < b, maka b > a

Sifat Transitif Ketaksamaan

Jika satu nombor kurang daripada nombor kedua, dan nombor kedua kurang daripada nombor ketiga, maka nombor pertama mesti kurang daripada nombor ketiga. Contoh: -5 < -1 < 9, maka -5 < 9.

Jika a < b < c, maka a < c

Kesan Tambah/Tolak ke atas Ketaksamaan

Menambah atau menolak nombor yang SAMA (positif ATAU negatif) pada KEDUA-DUA belah ketaksamaan TIDAK mengubah arah simbol ketaksamaan.

Jika a < b, maka a+c < b+c dan a-c < b-c (untuk SEBARANG c, positif atau negatif)

Kesan Darab/Bahagi dengan Nombor Positif

Mendarab atau membahagi KEDUA-DUA belah ketaksamaan dengan nombor POSITIF TIDAK mengubah arah simbol ketaksamaan.

Jika a < b dan c > 0, maka a x c < b x c dan a/c < b/c

Kesan Darab/Bahagi dengan Nombor Negatif (Songsangan)

Mendarab atau membahagi KEDUA-DUA belah ketaksamaan dengan nombor NEGATIF MENYONGSANGKAN arah simbol ketaksamaan (< menjadi >, dan sebaliknya). Ini termasuk mendarab dengan -1 (songsangan terhadap penambahan: jika a<b, maka -a>-b) dan mengambil salingan/songsangan pendaraban (jika a<b dengan a,b bertanda sama, maka 1/a > 1/b).

Jika a < b dan c < 0, maka a x c > b x c dan a/c > b/c

Membentuk Ketaksamaan Linear daripada Situasi

Kenal pasti kata kunci: "sekurang-kurangnya/tidak kurang daripada/minimum" -> >=; "selebih-lebihnya/tidak lebih daripada/maksimum" -> <=; "lebih daripada" -> >; "kurang daripada" -> <. Wakilkan kuantiti tidak diketahui dengan huruf, kemudian tulis ketaksamaan berdasarkan hubungan yang dinyatakan.

Terjemah pernyataan harian (sekurang-kurangnya, tidak melebihi, dsb) kepada ketaksamaan algebra

Menyelesaikan Ketaksamaan Linear Satu Pemboleh Ubah

Pengolahan untuk menyelesaikan ketaksamaan linear adalah serupa dengan persamaan linear (tambah/tolak/darab/bahagi kedua-dua belah dengan nombor yang sama), namun WAJIB mempertimbangkan arah simbol ketaksamaan — songsangkan simbol setiap kali mendarab atau membahagi kedua-dua belah dengan nombor NEGATIF. Ketaksamaan linear mempunyai LEBIH DARIPADA SATU penyelesaian yang mungkin (selang nilai, bukan satu nilai tunggal).

Sama seperti persamaan linear, TETAPI songsangkan simbol jika darab/bahagi dengan nombor negatif

Menyelesaikan Ketaksamaan Linear Serentak

Permudahkan setiap ketaksamaan dalam bentuk paling ringkas secara berasingan, kemudian gunakan garis nombor untuk menentukan nilai-nilai yang memuaskan KEDUA-DUA ketaksamaan serentak (bahagian sepunya/tindanan). Penyelesaian ketaksamaan linear serentak ialah nilai sepunya bagi kedua-dua ketaksamaan itu, ditulis sebagai satu selang (cth -6 < x < -4).

Selesaikan setiap ketaksamaan secara berasingan, kemudian cari BAHAGIAN SEPUNYA pada garis nombor

Contoh soalan

Selesaikan ketaksamaan (a) -x/3 < 9 (b) 7 - 4x > 15.

(a) -x/3 < 9. Darab kedua-dua belah dengan -3 (songsangkan simbol): x > -27.
(b) 7 - 4x > 15. Tolak 7: -4x > 8. Bahagi dengan -4 (songsangkan simbol): x < -2.

Contoh soalan

Selesaikan ketaksamaan linear serentak 8x+5 > 5x-13 dan 3x-4 < 9x+20.

8x+5 > 5x-13 -> 3x > -18 -> x > -6.
3x-4 < 9x+20 -> 3x-9x < 24 -> -6x < 24 -> x > -4 (simbol disongsangkan kerana bahagi dengan -6).
Bahagian sepunya kedua-dua selang pada garis nombor: penyelesaian ialah x > -4.

Contoh soalan

Dalam suatu kempen membaca, sebuah gerai menjual buku dengan harga RM12.50 setiap buku. Ghani membelanja tidak lebih daripada RM80. Hitung bilangan maksimum buku yang dapat dibeli oleh Ghani.

Katakan n = bilangan buku. Jumlah perbelanjaan = 12.5n.
12.5n <= 80 -> n <= 6.4.
Oleh kerana n mesti nombor bulat (bilangan buku), bilangan maksimum buku ialah 6 buah.
Semakan: 12.5x6=75 (<=80, sah); 12.5x7=87.5 (>80, tidak sah).

Contoh soalan

Isikan tempat kosong dengan simbol > atau < supaya menjadi pernyataan benar: jika 2 < 6, maka 2 x (-3) ___ 6 x (-3).

Mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan nombor NEGATIF (-3) menyongsangkan arah simbol.
2 x (-3) = -6 dan 6 x (-3) = -18.
-6 > -18, maka simbol yang betul ialah > (2 x (-3) > 6 x (-3)).

Contoh soalan

Fatimah bekerja sambilan menjual tin minuman, dibayar 10 sen setiap tin. Dia ingin memperoleh upah sekurang-kurangnya RM20 sejam. Hitung bilangan tin minuman yang harus dijual dalam sejam.

Katakan n = bilangan tin minuman dijual dalam sejam.
"Sekurang-kurangnya" bermaksud >=. Maka, 0.10n >= 20.
n >= 200.
Fatimah harus menjual sekurang-kurangnya 200 tin minuman dalam sejam.

Lupa menyongsangkan simbol ketaksamaan apabila mendarab atau membahagi kedua-dua belah dengan nombor NEGATIF — ini adalah kesilapan paling lazim dalam bab ini.
Tidak menyongsangkan simbol apabila mengambil songsangan/salingan kedua-dua belah ketaksamaan (cth daripada a<b kepada 1/a>1/b apabila a dan b bertanda sama).
Mengelirukan kata kunci "sekurang-kurangnya"/"minimum" (>=) dengan "selebih-lebihnya"/"maksimum" (<=) semasa membentuk ketaksamaan daripada situasi harian.
Tidak mempertimbangkan bahawa penyelesaian ketaksamaan adalah SATU SELANG nilai (atau gabungan selang), bukan satu nilai tunggal seperti persamaan — terutamanya dalam soalan yang memerlukan jawapan integer (perlu pilih nilai integer yang memuaskan selang itu).
Dalam ketaksamaan linear serentak, terlupa mencari BAHAGIAN SEPUNYA kedua-dua selang menggunakan garis nombor — terus menggabungkan kedua-dua ketaksamaan tanpa semakan visual boleh menyebabkan kesilapan, terutama bila arah ketaksamaan berbeza.
Tersilap anggap operasi tambah/tolak juga boleh menyongsangkan simbol — sebenarnya HANYA darab/bahagi dengan nombor NEGATIF yang menyongsangkan simbol; tambah/tolak dengan sebarang nombor (positif atau negatif) TIDAK menyongsangkan simbol.

Sentiasa semak tanda nombor yang digunakan untuk darab/bahagi kedua-dua belah ketaksamaan — jika negatif, WAJIB songsangkan simbol < menjadi > atau sebaliknya.
Untuk soalan membentuk ketaksamaan, garis bawah kata kunci dahulu (sekurang-kurangnya, tidak lebih daripada, dll.) sebelum menulis simbol ketaksamaan yang sepadan.
Untuk soalan yang memerlukan jawapan nombor bulat (cth bilangan buku, bilangan orang), selesaikan ketaksamaan dahulu untuk dapat selang nilai, kemudian pilih nilai integer yang sesuai (bulatkan ke bawah untuk maksimum, bulatkan ke atas untuk minimum).
Untuk ketaksamaan linear serentak, lukis garis nombor mental dengan kedua-dua selang penyelesaian ditanda berlainan warna/simbol untuk mengenal pasti bahagian sepunya dengan tepat.
Semak jawapan akhir dengan menggantikan satu nilai dari dalam selang penyelesaian (dan satu nilai dari luar selang) ke dalam ketaksamaan asal untuk pastikan arah simbol betul.
Bagi soalan perbandingan dua pilihan (cth dua pelan harga), tulis ketaksamaan yang membandingkan kedua-dua jumlah secara terus (cth Pelan A < Pelan B) untuk mencari titik di mana satu pilihan menjadi lebih baik.

Ketaksamaan
Ketaksamaan linear
Ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah
Sifat akas
Sifat transitif
Songsangan terhadap penambahan
Songsangan terhadap pendaraban
Ketaksamaan linear serentak