Kuasa Dua, Punca Kuasa Dua, Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga — Nota JomSkor

Kuasa Dua dan Kuasa Dua Sempurna

Kuasa dua bagi suatu nombor a ditulis a^2 dan bermaksud a didarab dengan dirinya sendiri. Kuasa dua sempurna ialah nombor yang dihasilkan apabila suatu integer didarab dengan dirinya sendiri (contoh: 1, 4, 9, 16, 25, ...). Secara geometri, kuasa dua sepadan dengan luas segi empat sama dengan panjang sisi yang sama.

a^2 = a x a

Menentukan Kuasa Dua Sempurna (Pemfaktoran Perdana)

Cari pemfaktoran perdana nombor itu. Jika semua faktor perdana boleh dipasangkan secara sama (dua-dua kumpulan serupa), nombor itu ialah kuasa dua sempurna. Contoh: 36=2x3x2x3 (boleh dikumpul 2x3 dan 2x3) -> kuasa dua sempurna. 54=2x3x3x3 (tidak boleh dikumpul sama) -> bukan kuasa dua sempurna.

Jika faktor perdana boleh dikumpulkan dalam DUA kumpulan yang sama, nombor itu kuasa dua sempurna

Hubungan Kuasa Dua dan Punca Kuasa Dua

Kuasa dua dan punca kuasa dua utama berkait, tetapi tanda punca sahaja tidak merangkumi kedua-dua penyelesaian persamaan kuadratik. Contohnya, x² = 25 mempunyai penyelesaian x = 5 atau x = −5, manakala √25 = 5. Luas segi empat sama ialah kuasa dua panjang sisinya; panjang sisi diperoleh daripada punca kuasa dua utama luas kerana panjang tidak negatif.

Jika a² = b dengan b ≥ 0, maka a = ±√b; simbol √b ialah punca kuasa dua utama yang tidak negatif.

Mencari Punca Kuasa Dua dengan Pemfaktoran Perdana

Untuk nombor besar, pemfaktoran perdana adalah kaedah sistematik: cari pemfaktoran perdana, kumpulkan dalam pasangan sama, kemudian darab satu daripada setiap pasangan. Contoh: akar(441) -> 441=3x3x7x7=(3x7)x(3x7)=21x21, maka akar(441)=21.

akar(p^2 x q^2) = p x q

Menganggar Kuasa Dua dan Punca Kuasa Dua

Untuk menganggar punca kuasa dua nombor yang bukan kuasa dua sempurna, kenal pasti dua kuasa dua sempurna terdekat yang mengapit nombor itu. Contoh: akar(54) terletak antara akar(49)=7 dan akar(64)=8, lebih dekat ke 7, maka akar(54) anggar 7.

Jika a terletak antara dua kuasa dua sempurna berturutan, akar(a) terletak antara punca kedua-duanya

Pendaraban Punca Kuasa Dua

Hasil darab dua punca kuasa dua nombor yang SAMA menghasilkan nombor itu sendiri. Hasil darab dua punca kuasa dua nombor yang BERBEZA ialah punca kuasa dua bagi hasil darab kedua-dua nombor itu.

akar(a) x akar(a) = a | akar(a) x akar(b) = akar(a x b)

Kuasa Tiga dan Kuasa Tiga Sempurna

Kuasa tiga bagi suatu nombor a ditulis a^3 dan bermaksud a didarab dengan dirinya sendiri tiga kali. Kuasa tiga sempurna ialah nombor yang dihasilkan apabila suatu integer didarab dengan dirinya sendiri tiga kali (contoh: 1, 8, 27, 64, 125, ...). Secara geometri, kuasa tiga sepadan dengan isi padu kubus dengan panjang tepi yang sama. Kuasa tiga nombor POSITIF sentiasa positif; kuasa tiga nombor NEGATIF sentiasa negatif.

a^3 = a x a x a

Menentukan Kuasa Tiga Sempurna (Pemfaktoran Perdana)

Cari pemfaktoran perdana nombor itu. Jika semua faktor perdana boleh dikumpulkan dalam tiga kumpulan yang serupa, nombor itu ialah kuasa tiga sempurna. Contoh: 64=2x2x2x2x2x2 (boleh dikumpul (2x2)x(2x2)x(2x2) = 4x4x4) -> kuasa tiga sempurna (dan juga kuasa dua sempurna, kerana 64=8^2=4^3).

Jika faktor perdana boleh dikumpulkan dalam TIGA kumpulan yang sama, nombor itu kuasa tiga sempurna

Hubungan Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

Kuasa tiga dan punca kuasa tiga ialah operasi yang bersongsangan. Isi padu kubus ialah kuasa tiga panjang tepinya; punca kuasa tiga isi padu memberikan panjang tepi kubus itu. Punca kuasa tiga nombor POSITIF sentiasa positif; punca kuasa tiga nombor NEGATIF sentiasa negatif.

Jika a^3 = b, maka pangkat-tiga-akar(b) = a (operasi bersongsangan)

Menganggar Kuasa Tiga dan Punca Kuasa Tiga

Kenal pasti dua kuasa tiga sempurna berturutan yang mengapit nombor itu. Contoh: pangkat-tiga-akar(180) terletak antara pangkat-tiga-akar(125)=5 dan pangkat-tiga-akar(216)=6, lebih dekat ke 6, maka anggaran pangkat-tiga-akar(180) ialah 6.

Sama seperti anggaran kuasa dua, tetapi menggunakan kuasa tiga sempurna terdekat

Tertib Operasi Gabungan (Kuasa & Punca)

Apabila pengiraan melibatkan gabungan kuasa dua, punca kuasa dua, kuasa tiga, punca kuasa tiga bersama operasi asas, selesaikan dalam tanda kurung dahulu, kemudian cari nilai kuasa/punca, kemudian darab/bahagi dari kiri ke kanan, akhir sekali tambah/tolak dari kiri ke kanan.

Selesaikan: ( ) -> kuasa/punca -> x atau div (kiri-kanan) -> + atau - (kiri-kanan)

Contoh soalan

Tentukan sama ada 36 dan 54 ialah kuasa dua sempurna menggunakan kaedah pemfaktoran perdana.

• 36 = 2x2x3x3 = (2x3)x(2x3). Maka, 36 ialah kuasa dua sempurna (=6^2).
• 54 = 2x3x3x3. Faktor perdana TIDAK boleh dikumpulkan dalam dua kumpulan yang sama.
• Maka, 54 BUKAN kuasa dua sempurna.

Contoh soalan

Cari akar(441) tanpa menggunakan kalkulator menggunakan kaedah pemfaktoran perdana.

• 441 = 3 x 3 x 7 x 7.
• Kumpulkan dalam pasangan sama: (3x7) x (3x7) = 21 x 21.
• Maka, akar(441) = 21.

Contoh soalan

Anggarkan nilai bagi 27.5^2 dan akar(54).

• 27.5 terletak antara 20 dan 30, maka 27.5^2 terletak antara 400 dan 900.
• 54 terletak antara kuasa dua sempurna 49 dan 64, maka akar(54) terletak antara 7 dan 8, lebih dekat ke 7.

Contoh soalan

Seorang pengukir memahat sebuah blok kayu kubus dengan panjang tepi 6 cm dan mengeluarkan sebuah kubus kecil daripadanya. Jika isi padu blok kayu yang tinggal ialah 189 cm3, cari panjang tepi kubus kecil yang dikeluarkan.

• Isi padu blok kayu asal = 6^3 = 216 cm3.
• Isi padu kubus kecil = 216 - 189 = 27 cm3.
• Panjang tepi kubus kecil = pangkat-tiga-akar(27) = 3 cm.

Contoh soalan

Cari nilai bagi (a) 0.5^2 + pangkat-tiga-akar(1000) dan (b) (-3)^3 - akar(64).

• (a) 0.5^2 + pangkat-tiga-akar(1000) = 0.25 + 10 = 10.25.
• (b) (-3)^3 - akar(64) = -27 - 8 = -35.