Nombor Nisbah — Nota JomSkor

Bab ini mengkaji integer (nombor positif dan negatif, garis nombor, perbandingan dan penyusunan tertib), operasi asas aritmetik bagi integer (tambah, tolak, darab, bahagi, gabungan operasi mengikut tertib operasi), hukum operasi aritmetik (Hukum Kalis Tukar Tertib, Hukum Kalis Sekutuan, Hukum Kalis Agihan, Hukum Identiti) dan pengiraan efisien, pecahan positif dan pecahan negatif (perwakilan pada garis nombor, perbandingan dan penyusunan, gabungan operasi), perpuluhan positif dan perpuluhan negatif (perwakilan, perbandingan, gabungan operasi), serta nombor nisbah (definisi p/q dengan p, q integer dan q tidak sama dengan sifar, gabungan operasi melibatkan integer/pecahan/perpuluhan) dan penyelesaian masalah harian.

Matematik · Tingkatan 1

Nombor Positif dan Nombor Negatif

Nombor positif mempunyai nilai lebih besar daripada sifar dan boleh ditulis dengan tanda + atau tanpa tanda. Nombor negatif mempunyai nilai kurang daripada sifar dan ditulis dengan tanda −. Sifar bukan nombor positif atau negatif. Tanda positif dan negatif boleh mewakili perubahan yang bertentangan, seperti arah kanan/kiri, kenaikan/penurunan dan untung/rugi.

Nombor positif: +2, +45 atau 2, 45 | Nombor negatif: -1, -10

Integer

Integer ialah kumpulan nombor yang merupakan nombor bulat positif dan nombor bulat negatif termasuk sifar (contoh: ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...). Nombor seperti pecahan (1/2) atau perpuluhan (-3.4, 0.88) bukan integer.

Integer = nombor bulat positif + nombor bulat negatif + sifar

Integer pada Garis Nombor

Pada garis nombor, nilai bertambah apabila bergerak ke kanan dan berkurang apabila bergerak ke kiri. Integer positif berada di kanan sifar, manakala integer negatif berada di kiri sifar. Antara dua integer negatif, integer dengan nilai mutlak yang lebih besar berada lebih jauh ke kiri dan mempunyai nilai yang lebih kecil.

Integer positif lebih besar drpd 0 (kanan); integer negatif kurang drpd 0 (kiri)

Membanding dan Menyusun Integer

Berdasarkan kedudukan integer pada garis nombor, integer boleh dibanding nilainya dan disusun mengikut tertib menaik atau tertib menurun. Contoh: -3,4,2,-5,6,0,-1 disusun tertib menaik ialah -5,-3,-1,0,2,4,6.

Tertib menaik: dari paling kecil ke paling besar | Tertib menurun: dari paling besar ke paling kecil

Penambahan dan Penolakan Integer

Pada garis nombor: penambahan integer positif diwakili pergerakan ke kanan, penambahan integer negatif diwakili pergerakan ke kiri. Penolakan integer positif diwakili pergerakan ke kiri, penolakan integer negatif diwakili pergerakan ke kanan (kerana menolak nombor negatif bersamaan menambah nombor positif itu). Contoh: 8+(+3)=11; 5+(-2)=3; 2-(+4)=-2; -1-(-4)=-1+4=3. Kaedah alternatif: cip kuning (+) mewakili integer positif, cip merah (-) mewakili integer negatif; pasangan cip kuning-merah mewakili sifar.

Tambah integer positif = gerak kanan | Tambah integer negatif = gerak kiri | Tolak integer positif = gerak kiri | Tolak integer negatif = gerak kanan

Pendaraban dan Pembahagian Integer

Hasil darab atau hasil bahagi dua integer dengan TANDA SAMA ialah integer POSITIF. Hasil darab atau hasil bahagi dua integer dengan TANDA BERLAINAN ialah integer NEGATIF. Contoh: -5x(-4)=+(5x4)=20; -6x4=-(6x4)=-24; 6x(-2)=-(6x2)=-12... ; -12 div(-2)=+(12 div 2)=6.

(+)x(+)=+ | (+)x(-)=- | (-)x(+)=- | (-)x(-)=+ (sama untuk bahagi)

Tertib Operasi (Gabungan Operasi)

Apabila membuat pengiraan yang melibatkan gabungan operasi ke atas integer, pecahan, perpuluhan atau nombor nisbah, ikut tertib operasi: kira dalam tanda kurung dahulu, kemudian darab/bahagi dari kiri ke kanan, kemudian tambah/tolak dari kiri ke kanan. Contoh: -8-(-2+3)=-8-(1)=-9 (BETUL: -8-1=-9); 7+2(-3)=7+(-6)=1.

1) Tanda kurung ( ) -> 2) Darab x atau Bahagi div (kiri ke kanan) -> 3) Tambah + atau Tolak - (kiri ke kanan)

Hukum Kalis Tukar Tertib (Commutative Law)

Bagi semua nilai a dan b, penambahan dan pendaraban dikatakan mematuhi Hukum Kalis Tukar Tertib — susunan unsur boleh ditukar tanpa mengubah hasil. TIDAK berlaku untuk penolakan dan pembahagian.

a+b=b+a | a x b=b x a

Hukum Kalis Sekutuan (Associative Law)

Bagi semua nilai a, b dan c, penambahan dan pendaraban dikatakan mematuhi Hukum Kalis Sekutuan — cara unsur dikumpulkan/disekutukan boleh diubah tanpa mengubah hasil. Berguna untuk pengiraan efisien, contoh: 29+38+2=29+(38+2)=29+40=69.

(a+b)+c=a+(b+c) | (axb)xc=ax(bxc)

Hukum Kalis Agihan (Distributive Law)

Pendaraban mengagihkan ke atas penambahan dan penolakan dalam tanda kurung. Berguna untuk pengiraan efisien, contoh: 7x3040=7x(3000+40)=7x3000+7x40=21000+280=21280.

a x (b+c) = a x b + a x c | a x (b-c) = a x b - a x c

Hukum Identiti

Bagi semua nilai a, menambah sifar atau mendarab dengan satu tidak mengubah nilai: a+0=a dan a×1=a. Selain itu, a+(−a)=0 dan a×0=0. Hubungan a×(1/a)=1 hanya sah apabila a bukan sifar, kerana sifar tidak mempunyai salingan.

a+0=a | a+(-a)=0 | a×0=0 | a×1=a | a×(1/a)=1 apabila a≠0

Pecahan Positif dan Pecahan Negatif

Perwakilan pecahan pada garis nombor adalah sama seperti integer. Pecahan positif ialah pecahan lebih besar daripada sifar (berada di sebelah kanan sifar); pecahan negatif ialah pecahan kurang daripada sifar (berada di sebelah kiri sifar).

Pecahan positif > 0 (kanan sifar) | Pecahan negatif < 0 (kiri sifar)

Membanding dan Menyusun Pecahan

Dua atau lebih pecahan boleh dibanding nilainya dengan menyamakan penyebut (cari penyebut sepunya) dahulu, kemudian disusun mengikut tertib menaik atau tertib menurun berdasarkan nilai pengangka selepas penyebut disamakan.

Samakan penyebut dahulu, kemudian banding pengangka

Perpuluhan Positif dan Perpuluhan Negatif

Perwakilan perpuluhan pada garis nombor adalah sama seperti integer dan pecahan. Perpuluhan positif lebih besar daripada sifar; perpuluhan negatif kurang daripada sifar. Boleh dibanding dan disusun mengikut tertib menaik/menurun sama seperti integer.

Perpuluhan positif > 0 | Perpuluhan negatif < 0

Definisi Nombor Nisbah

Nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan p/q, dengan keadaan p dan q ialah integer dan q tidak sama dengan sifar, disebut sebagai nombor nisbah. Semua integer, pecahan dan perpuluhan (yang berakhir atau berulang) boleh ditulis dalam bentuk p/q dan adalah nombor nisbah — contoh: 1 4/5=9/5, 3/4, -9=-9/1, 3.5=7/2. Nombor seperti pi (3.141592654...) BUKAN nombor nisbah kerana tidak boleh ditulis tepat dalam bentuk p/q.

Nombor nisbah = p/q, dengan p dan q ialah integer, q tidak sama dengan 0

Gabungan Operasi bagi Nombor Nisbah

Apabila pengiraan melibatkan campuran integer, pecahan dan perpuluhan, tukarkan semua kepada bentuk pecahan (nombor nisbah) terlebih dahulu untuk memudahkan pengiraan, kemudian selesaikan mengikut tertib operasi yang sama seperti integer.

Tukar perpuluhan kepada pecahan dahulu, kemudian ikut tertib operasi: ( ) -> x atau div -> + atau -

Contoh soalan

Banding dan susun -4, 3, 2, 5, -2, -1, -5 mengikut tertib menurun.

Letakkan semua nombor pada garis nombor mental: -5,-4,-2,-1,2,3,5.
Tertib menurun bermaksud dari nombor paling besar ke paling kecil.
Jawapan: 5, 3, 2, -1, -2, -4, -5.

Contoh soalan

Selesaikan (a) 8 + (+3) (b) 5 + (-2) (c) 2 - (+4) (d) -1 - (-4).

(a) 8+(+3) = 8+3 = 11 (penambahan integer positif = gerak ke kanan).
(b) 5+(-2) = 5-2 = 3 (penambahan integer negatif = gerak ke kiri).
(c) 2-(+4) = 2-4 = -2 (penolakan integer positif = gerak ke kiri).
(d) -1-(-4) = -1+4 = 3 (penolakan integer negatif = gerak ke kanan, sama dengan menambah).

Contoh soalan

Nilaikan (a) -5 x (-4) (b) -6 x 4 (c) 6 div (-2) (d) -12 div (-2).

(a) -5 x (-4): tanda sama (negatif x negatif) = positif. = +(5x4) = 20.
(b) -6 x 4: tanda berlainan = negatif. = -(6x4) = -24.
(c) 6 div (-2): tanda berlainan = negatif. = -(6 div 2) = -3.
(d) -12 div (-2): tanda sama = positif. = +(12 div 2) = 6.

Contoh soalan

Dengan menggunakan hukum yang telah dipelajari, selesaikan 356+61+9 dan 20x567x5 dengan pengiraan efisien.

356+61+9 = 356+(61+9) [Hukum Kalis Sekutuan] = 356+70 = 426.
20x567x5 = 567x20x5 [Hukum Kalis Tukar Tertib] = 567x(20x5) [Hukum Kalis Sekutuan] = 567x100 = 56700.
Hukum Kalis Sekutuan membenarkan pengumpulan semula nombor yang mudah dikira dahulu; Hukum Kalis Tukar Tertib membenarkan penyusunan semula tertib nombor.

Contoh soalan

Tentukan sama ada -2/4, 8/7, -1.2/1.5, 7.65, 2 2/5 dan -4.2 ialah nombor nisbah. Terangkan jawapan anda.

Semua nombor di atas ADALAH nombor nisbah kerana semuanya boleh ditulis dalam bentuk p/q dengan p dan q ialah integer dan q tidak sama dengan 0.
Contoh: 7.65 = 765/100 (boleh dipermudahkan), 2 2/5 = 12/5, -4.2 = -42/10.
Walaupun sesetengah nombor kelihatan dalam bentuk perpuluhan atau pecahan bercampur, ia masih nombor nisbah selagi boleh ditukar kepada bentuk p/q yang tepat.

Contoh soalan

Harga saham sebuah syarikat ialah RM2.05. Harganya melonjak sebanyak RM0.32 kemudian menyusut sebanyak RM0.28 setiap jam selama tiga jam. Hitung harga akhir saham itu.

Lonjakan harga ditulis sebagai +0.32; penyusutan harga setiap jam ditulis sebagai -0.28.
Harga akhir saham = 2.05 + 0.32 + 3 x (-0.28).
= 2.37 + (-0.84) = 2.37 - 0.84 = 1.53.
Harga akhir saham itu ialah RM1.53.

Mengelirukan integer dengan nombor nisbah/pecahan/perpuluhan — integer hanya nombor BULAT (positif, negatif, sifar); pecahan seperti 1/2 atau perpuluhan seperti -3.4 BUKAN integer walaupun kedua-duanya adalah nombor nisbah.
Tersilap arah pergerakan pada garis nombor semasa tolak integer negatif — menolak integer negatif (contoh -1-(-4)) bersamaan MENAMBAH nilai positif (-1+4=3), bukan mengurangkannya lagi.
Terlupa peraturan tanda darab/bahagi — tanda SAMA (kedua positif atau kedua negatif) menghasilkan jawapan POSITIF; tanda BERLAINAN menghasilkan jawapan NEGATIF. Ramai pelajar tersilap anggap dua negatif mendarab/membahagi menghasilkan negatif.
Tidak mengikut tertib operasi dengan betul — tanda kurung mesti dikira PALING DAHULU, diikuti darab/bahagi (dari kiri ke kanan), kemudian tambah/tolak (dari kiri ke kanan). Kesilapan lazim ialah terus tambah/tolak sebelum darab/bahagi.
Mengelirukan Hukum Kalis Tukar Tertib (tukar SUSUNAN, a+b=b+a) dengan Hukum Kalis Sekutuan (tukar PENGUMPULAN/sekutuan, (a+b)+c=a+(b+c)) — kedua-dua hukum ini hanya sah untuk tambah dan darab, TIDAK sah untuk tolak dan bahagi.
Menyangka pi (3.141592654...) atau punca kuasa dua nombor bukan kuasa sempurna (seperti akar 2) ialah nombor nisbah kerana kelihatan seperti perpuluhan — sebenarnya nombor ini BUKAN nombor nisbah kerana tidak boleh ditulis tepat dalam bentuk p/q.
Lupa menukar perpuluhan kepada pecahan (atau sebaliknya) dahulu sebelum membuat gabungan operasi yang mencampurkan integer, pecahan dan perpuluhan dalam satu soalan — ini menyukarkan pengiraan dan mudah menyebabkan kesilapan.

Hafal definisi integer (nombor bulat positif, negatif dan sifar) supaya tidak tersilap mengelas pecahan atau perpuluhan sebagai integer dalam soalan jenis "tentukan sama ada nombor berikut integer atau bukan".
Untuk soalan tambah/tolak integer, lukis garis nombor ringkas dan tentukan arah pergerakan (kanan = tambah positif/tolak negatif; kiri = tambah negatif/tolak positif) sebagai semakan pantas jawapan.
Untuk soalan darab/bahagi integer, gunakan kaedah pantas "tanda sama = positif, tanda berlainan = negatif" sebelum mengira nilai mutlak nombor itu.
Sentiasa ikut tertib operasi BODMAS/BIDMAS: tanda kurung -> darab/bahagi (kiri ke kanan) -> tambah/tolak (kiri ke kanan). Gariskan tanda kurung dahulu dalam kerja kasar untuk elak tersilap urutan.
Bagi soalan pengiraan efisien, cari peluang menggunakan Hukum Kalis Sekutuan (kumpulkan nombor yang mudah dicampur/didarab) atau Hukum Kalis Agihan (pecahkan nombor besar kepada bentuk a x (b+c)) untuk jimat masa dan kurangkan kesilapan pengiraan.
Untuk soalan nombor nisbah, sentiasa cuba tulis nombor dalam bentuk p/q terlebih dahulu (p dan q integer, q tidak sama dengan 0) sebelum membuat sebarang gabungan operasi — ini memudahkan perbandingan dan pengiraan pecahan.
Bagi soalan masalah harian (suhu, wang, ketinggian, kedudukan), kenal pasti dahulu yang mana mewakili nilai positif dan yang mana mewakili nilai negatif sebelum menulis ungkapan matematik, supaya tanda pengiraan tidak tersilap.

Integer
Nombor positif
Nombor negatif
Garis nombor
Tertib menaik
Tertib menurun
Hukum Kalis Tukar Tertib
Hukum Kalis Sekutuan
Hukum Kalis Agihan
Hukum Identiti
Tertib operasi
Pecahan positif
Pecahan negatif
Perpuluhan positif
Perpuluhan negatif
Nombor nisbah
Sifar
Pengiraan efisien