Kebarangkalian Peristiwa Bergabung — Nota JomSkor

Bab ini mengembangkan konsep kebarangkalian kepada peristiwa bergabung. Pelajar belajar membezakan peristiwa bersandar/tak bersandar, saling eksklusif/tidak saling eksklusif, dan menggunakan rumus P(A∩B), P(A∪B) serta gambar rajah pokok untuk mengira kebarangkalian peristiwa bergabung.

Matematik · Tingkatan 4

Peristiwa Tak Bersandar

Peristiwa A dan B adalah TAK BERSANDAR jika berlakunya A tidak mempengaruhi kebarangkalian B. P(A∩B) = P(A) × P(B).

Peristiwa Bersandar

Peristiwa A dan B adalah BERSANDAR jika berlakunya A mempengaruhi kebarangkalian B. P(A∩B) = P(A) × P(B|A), di mana P(B|A) ialah kebarangkalian B diberi A berlaku.

Peristiwa Saling Eksklusif

Dua peristiwa yang TIDAK BOLEH berlaku serentak. A ∩ B = {} (set kosong). P(A∩B) = 0. P(A∪B) = P(A) + P(B).

Peristiwa Tidak Saling Eksklusif

Dua peristiwa yang BOLEH berlaku serentak. P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Tanpa tolak P(A∩B), kebarangkalian dikira dua kali.

Rumus P(A∪B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Untuk saling eksklusif: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) kerana P(A ∩ B) = 0.

Gambar Rajah Pokok

Alat untuk menyenaraikan semua kemungkinan hasil ujikaji bergabung secara sistematik. Setiap cabang mewakili satu hasil, dan kebarangkalian sepanjang cabang didarabkan.

Kebarangkalian Bersyarat P(B|A)

Kebarangkalian B berlaku DIBERI A telah berlaku. P(B|A) = P(A∩B) / P(A). Relevan untuk peristiwa bersandar (tanpa pengembalian).

Contoh soalan

Satu beg mengandungi 3 bola merah dan 2 bola biru. Dua bola diambil TANPA pengembalian. Cari kebarangkalian bahawa (i) kedua-dua bola merah, (ii) sekurang-kurangnya satu bola merah.

P(R₁) = 3/5. Setelah ambil satu merah, tinggal 2 merah, 2 biru dari 4 bola. P(R₂|R₁) = 2/4 = 1/2 (i) P(MM) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 (ii) P(sekurang-kurangnya 1 merah) = 1 − P(tiada merah) P(B₁) = 2/5; P(B₂|B₁) = 1/4 P(BB) = 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10 P(≥1 merah) = 1 − 1/10 = 9/10

Tidak ubah penyebut selepas pengambilan tanpa pengembalian — Tanpa pengembalian: jumlah item berkurang selepas setiap pengambilan. Kemas kini penyebut pada setiap peringkat.
Terpakai rumus P(A∪B) = P(A)+P(B) untuk peristiwa tidak saling eksklusif — Mesti tolak P(A∩B): P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B). Hanya untuk saling eksklusif boleh abaikan sebutan terakhir.
Keliru antara P(A∩B) dan P(A∪B) — ∩ = DAN (kedua-dua berlaku). ∪ = ATAU (sekurang-kurangnya satu berlaku).
Tidak beza antara ujikaji dengan pengembalian vs tanpa pengembalian — Dengan pengembalian → tak bersandar (P sama setiap kali). Tanpa pengembalian → bersandar (P berubah selepas setiap cubaan).
Tolak kebarangkalian lebih daripada 1 — Semak jawapan: kebarangkalian mestilah antara 0 dan 1 (inklusif). Jika > 1, ada kesilapan pengiraan.

Gambar rajah pokok wajib dilukis untuk soalan berbilang peringkat — tunjukkan semua cabang walaupun tidak semuanya diperlukan
'Sekurang-kurangnya satu' kerap diselesaikan dengan pelengkap: P(≥1) = 1 − P(tiada satu pun)
Semak: jumlah semua kebarangkalian pada tahap yang sama dalam gambar rajah pokok = 1
Bezakan soalan 'dengan pengembalian' dan 'tanpa pengembalian' — ini menentukan sama ada peristiwa bersandar atau tak bersandar
Untuk soalan P(A∪B), semak dulu sama ada A dan B boleh berlaku serentak — jika boleh, mesti tolak P(A∩B)

Peristiwa Bergabung: Combined Events
Peristiwa Tak Bersandar: Independent Events
Peristiwa Bersandar: Dependent Events
Saling Eksklusif: Mutually Exclusive
Tidak Saling Eksklusif: Non-Mutually Exclusive
Gambar Rajah Pokok: Tree Diagram
Kebarangkalian Bersyarat (P(B|A)): Conditional Probability
Tanpa Pengembalian: Without Replacement
Dengan Pengembalian: With Replacement