Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul — Nota JomSkor

Serakan dan Maknanya

Serakan ialah gambaran tentang cara nilai-nilai dalam satu set data ditaburkan. Serakan adalah kecil jika julat data kecil, dan besar jika julat data besar. Sukatan serakan kuantitatif termasuklah julat, julat antara kuartil (JAK), varians dan sisihan piawai.

Julat

Julat ialah beza antara nilai cerapan terbesar dengan nilai cerapan terkecil. Ia ialah sukatan serakan paling mudah tetapi paling mudah dipengaruhi oleh pencilan.

Julat = nilai cerapan terbesar − nilai cerapan terkecil

Kuartil dan Julat Antara Kuartil (JAK)

Kuartil pertama (Q₁) ialah nilai data di kedudukan 1/4 pertama apabila data disusun menaik. Kuartil ketiga (Q₃) ialah di kedudukan 3/4. JAK mengukur serakan 50% data tengah dan lebih sesuai digunakan apabila terdapat pencilan dalam data.

JAK = Q₃ − Q₁

Varians

Varians ialah purata kuasa dua bagi beza setiap data dengan minnya. Dua rumus alternatif boleh digunakan. Untuk data dalam jadual kekerapan, gantikan Σ(x−x̄)² dengan Σf(x−x̄)² dan N dengan Σf.

σ² = Σ(x−x̄)²/N atau σ² = Σx²/N − x̄²

Sisihan Piawai

Sisihan piawai ialah punca kuasa dua varians. Ia diukur dalam unit yang sama dengan data, menjadikannya lebih mudah ditafsir. Sisihan piawai kecil → data terserak hampir min; sisihan piawai besar → data terserak jauh dari min.

σ = √(Σ(x−x̄)²/N) atau σ = √(Σx²/N − x̄²)

Plot Batang-dan-Daun

Plot batang-dan-daun menunjukkan taburan data dengan nilai puluh sebagai batang dan nilai sa sebagai daun, disusun menaik. Kekunci mesti dinyatakan. Sesuai untuk membandingkan dua set data secara berdampingan (back-to-back).

Plot Titik

Plot titik ialah carta statistik dengan titik-titik pada skala seragam. Setiap titik mewakili satu cerapan. Sesuai untuk data yang tidak banyak. Boleh membandingkan serakan, kekerapan, dan arah tumpu dua set data.

Plot Kotak

Plot kotak mempamerkan lima nilai utama: nilai minimum, Q₁, median, Q₃ dan nilai maksimum. Boleh menunjukkan sama ada data simetri. Sesuai untuk data yang banyak dan membandingkan dua set data.

5-nilai utama: minimum, Q₁, median, Q₃, maksimum

Kesan Perubahan Data terhadap Serakan

Menambah atau menolak pemalar pada semua data tidak mengubah julat, JAK, sisihan piawai atau varians. Mendarab semua data dengan k mendarab julat, JAK dan sisihan piawai dengan |k|, serta varians dengan k². Faktor mutlak diperlukan apabila k negatif kerana ukuran serakan tidak negatif; contohnya mendarab semua data dengan −2 menggandakan sisihan piawai. Membahagi semua data dengan k, dengan k bukan sifar, mendarab julat, JAK dan sisihan piawai dengan 1/|k|, serta varians dengan 1/k². Pencilan boleh mempengaruhi julat dan sisihan piawai dengan kuat, manakala JAK biasanya kurang terjejas.

Darab k: σ_baharu = |k|×σ_asal; σ²_baharu = k²×σ²_asal

Memilih Sukatan Serakan yang Sesuai

Gunakan JAK apabila terdapat pencilan (nilai ekstrem) dalam data, kerana julat sangat terjejas oleh pencilan. Gunakan sisihan piawai untuk membandingkan dua set data dengan min yang sama — set data dengan sisihan piawai lebih kecil adalah lebih konsisten.

Contoh soalan

Aiman dan John masing-masing menduduki 5 ujian Fizik dengan markah berikut. Aiman: 40, 70, 90, 85, 64. John: 80, 65, 73, 58, 73. Min kedua-dua murid ialah 69.8. Tentukan siapakah yang lebih layak dipilih mewakili sekolah.

• Hitung sisihan piawai Aiman: σ = √[(40²+70²+90²+85²+64²)/5 − 69.8²]
• = √[(1600+4900+8100+7225+4096)/5 − 4872.04]
• = √[25921/5 − 4872.04] = √[5184.2 − 4872.04] = √312.16 = 17.67
• Hitung sisihan piawai John: σ = √[(80²+65²+73²+58²+73²)/5 − 69.8²]
• = √[(6400+4225+5329+3364+5329)/5 − 4872.04]
• = √[24647/5 − 4872.04] = √[4929.4 − 4872.04] = √57.36 = 7.574
• Sisihan piawai John (7.574) < sisihan piawai Aiman (17.67)
• John lebih konsisten dalam pencapaiannya

John dipilih kerana sisihan piawainya lebih kecil (7.574 berbanding 17.67), menunjukkan pencapaiannya lebih konsisten.