Kebarangkalian SPM: Beza Dengan dan Tanpa Pengembalian

2026-10-17

Dengan pengembalian, objek dimasukkan semula sebelum pilihan seterusnya. Tanpa pengembalian, objek itu tidak dimasukkan semula, jadi jumlah dan komposisi yang tinggal berubah. Perbezaan kecil dalam ayat soalan ini menentukan pecahan yang perlu digunakan pada pilihan kedua.

Jangan terus darab dua pecahan yang sama. Tulis dahulu apa yang masih ada selepas pilihan pertama. Kita gunakan satu beg yang mengandungi tiga bola merah dan dua bola biru. Semua bola mempunyai peluang yang sama untuk dipilih, dan setiap pilihan dibuat secara rawak.

1. Kebarangkalian pilihan pertama

Jumlah bola ialah lima. Maka P(merah pertama) = 3/5 dan P(biru pertama) = 2/5. Setakat ini, pengiraan sama untuk kedua-dua keadaan. Perbezaan bermula selepas bola pertama diambil.

Labelkan setiap peringkat supaya tidak tertukar. “Merah pertama” dan “merah kedua selepas merah pertama” bukan peristiwa yang sama. Dalam kes tanpa pengembalian, maklumat pilihan pertama mempengaruhi pilihan kedua.

2. Dua merah dengan pengembalian

Bola pertama dimasukkan semula dan beg dicampurkan sebelum pilihan kedua. Beg kembali mengandungi tiga merah dan dua biru. Jadi kebarangkalian merah pada pilihan kedua kekal 3/5.

P(dua merah) = 3/5 × 3/5 = 9/25. Kita mendarab sepanjang satu laluan: merah dahulu, kemudian merah. Andaian pilihan rawak selepas pengembalian penting supaya pilihan kedua tidak dipengaruhi cara bola diletakkan.

3. Dua merah tanpa pengembalian

Selepas satu merah diambil, tinggal dua merah dan dua biru. Jumlah yang tinggal ialah empat. Kebarangkalian merah kedua, dengan syarat merah pertama telah diambil, ialah 2/4.

P(dua merah) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10. Kesilapan biasa ialah mengurangkan pengangka tetapi membiarkan penyebut sebagai lima. Kedua-duanya perlu dikemas kini mengikut bola yang benar-benar tinggal.

4. Satu merah dan satu biru: ambil kira urutan

Tanpa pengembalian, “satu merah dan satu biru” boleh berlaku melalui dua laluan yang tidak bertindih: merah kemudian biru, atau biru kemudian merah.

Jumlahkan kedua-dua laluan: 3/10 + 3/10 = 3/5. Jika soalan menetapkan “merah kemudian biru”, ambil laluan pertama sahaja. Jangan tambah laluan yang tidak diminta.

5. Semak menggunakan semua kemungkinan warna

Tanpa pengembalian, kebarangkalian dua biru ialah 2/5 × 1/4 = 1/10. Tiga kategori yang meliputi semua hasil ialah dua merah, dua biru, dan satu bagi setiap warna. Jumlahnya 3/10 + 1/10 + 3/5 = 1.

Semakan ini boleh mengesan laluan yang tertinggal. Nilai kebarangkalian juga perlu berada antara sifar dengan satu. Jika jawapan melebihi satu, semak operasi dan sama ada hasil yang dikira bertindih.

6. Cuba sendiri sebelum baca jawapan

Beg lain mempunyai empat bola hijau dan dua bola kuning. Dua bola diambil secara rawak tanpa pengembalian. Apakah kebarangkalian kedua-duanya kuning?

Jawapan: 2/6 × 1/5 = 1/15. Selepas kuning pertama diambil, tinggal satu kuning daripada lima bola. Dengan pengembalian pula, jawapannya 2/6 × 2/6 = 1/9. Contoh ini ialah latihan asal, bukan soalan daripada kertas SPM.

Untuk latihan seterusnya, tulis inventori selepas setiap pilihan sebelum mengira. Baca juga cara membaca kehendak soalan Matematik. Kemudian cuba satu soalan di JomSkor dan semak penerangan bagi langkah yang korang tersilap.

Soalan lazim

Apakah maksud tanpa pengembalian?

Objek yang dipilih tidak dimasukkan semula sebelum pilihan berikutnya. Jumlah dan komposisi objek yang tinggal berubah.

Bila perlu tambah kebarangkalian laluan?

Tambahkan laluan yang tidak bertindih apabila semua laluan itu memenuhi peristiwa yang ditanya.

Adakah semua soalan guna pecahan yang sama pada pilihan kedua?

Tidak. Semak sama ada objek dikembalikan dan apa yang tinggal selepas pilihan pertama.